Resolva as equações diferenciais:
(1+x^2) y^prime-x y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
(1+x^2),y' - x,y = 0
que é uma EDO de primeira ordem, linear e homogênea. Vamos tratar como uma equação separável ou usar a forma canônica de uma EDO linear.

Passo 2

Primeiro escrevemos em forma padrão dividindo por 1+x^2:
y' - x1+x^2,y = 0

Passo 3

Essa forma sugere separar variáveis, pois podemos reorganizar como
dydx = x1+x^2,y Longrightarrow 1y,dy = x1+x^2,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral x1+x^2,dx Longrightarrow lnlvert yrvert = 12lnl(1+x^2r) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Exponenciando e reagrupando a constante em K=e^C, obtemos
lvert yrvert = K,(1+x^2)^1/2 Longrightarrow y = C1,raiz1+x^2,
onde C1 é uma constante real que já incorpora o sinal.

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = C,raiz1+x^2,
com CinR.

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