Os exercícios de (10) a (15) são baseados no cálculo via Teste da Integral da estimativa do resto de uma série convergente para . Ou seja, na aproximação de uma série por uma soma parcial , comete-se o , em que é definido a partir da seguinte identidade:
Encontre o valor de tal que .)

Passo 1

O enunciado pede encontrar o menor n tal que a soma parcial
Sn=sumk=1^n1k^4
aproxime a série
S=sumk=1^infty1k^4
com erro varepsilonn=|Rn|<10^-6. O conteúdo é o Teste da Integral para estimar o resto de séries de termos positivos e decrescentes.

Passo 2

Para ak=tfrac1k^4, definimos a função contínua e decrescente f(x)=tfrac1x^4 em [1,infty). Pelo Teste da Integral,
Rn=sumk=n+1^infty1k^4<=integraln^infty1x^4,dx
Calculamos a integral:
integraln^infty1x^4,dx =limbtoinftyl[-tfrac13x^3r]n^b =13n^3

Passo 3

Impondo
13n^3<10^-6,
temos
n^3>13cdot10^-6=10^63,
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n>raiz[3]10^63approx69,1

Passo 4

Como n deve ser inteiro, tomamos n=70. Então
13cdot70^3 =13cdot343000 approx9,7times10^-7 <10^-6,
o que garante varepsilonn<10^-6.

Resposta

n=70

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