Determine os valores de para os quais existe, sendo
Passo 1
Temos a função por partes
f(x)= 2 - x, & x <= -1, x, & -1 <= x < 1, (x-2)^2,& x >= 1
O que queremos é saber para quais valores de a a existência de limxto af(x) está garantida. Vamos usar que cada expressão é uma função polinomial (contínua em todo ponto do seu domínio) e verificar os pontos críticos x=-1 e x=1, onde mudam as definições.
Passo 2
Se a estiver estritamente dentro de um dos três intervalos
(-infty,-1),(-1,1),(1,infty),
então f é dada ali por um polinômio (ou seja, contínua) e logo
limxto af(x)=f(a)
existe.
Passo 3
Em a=-1 há duas bandas se encontrando. Calculamos os limites laterais:
limxto -1^-f(x) =limxto -1^-(2-x) =2-(-1)=3,
limxto -1^+f(x) =limxto -1^+x =-1
Como 3neq -1, a limxto -1f(x) não existe.
Passo 4
Em a=1 também mudam as fórmulas, mas vemos:
limxto 1^-f(x) =limxto 1^-x =1,
limxto 1^+f(x) =limxto 1^+(x-2)^2 =(1-2)^2=1
Aqui os dois lados coincidem em 1, então limxto 1f(x) existe (e vale 1).
Passo 5
Juntando tudo, a única falha de existência de limite ocorre em a=-1. Em qualquer outro ponto real, o limite existe.
Resposta
O limite limxto af(x) existe para todos os ainR exceto a=-1.