Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
\int \sqrt{4+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral raiz4 + x^2;dx
usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integral costuma usar a mudança
x = atantheta no caso de raiza^2+x^2. Aqui temos a=2.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 2tantheta Longrightarrow dx = 2sec^2theta,dtheta
Além disso,
raiz4 + x^2 = raiz4 + 4tan^2theta = raiz4l(1+tan^2thetar) = 2sectheta

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral raiz4 + x^2,dx = integral l(2secthetar),l(2sec^2theta,dthetar) = 4integral sec^3theta,dtheta

Passo 4

Para calcular integral sec^3theta,dtheta, usamos integração por partes. Seja
u = sectheta, dv = sec^2theta,dtheta
Rightarrow
du = secthetatantheta,dtheta, v = tantheta
Então
integral sec^3theta,dtheta = secthetatantheta - integral tanthetal(secthetatanthetar),dtheta = secthetatantheta - integral secthetatan^2theta,dtheta
Como tan^2theta=sec^2theta-1, temos
integral sec^3theta,dtheta = secthetatantheta - integral sec^3theta,dtheta + integral sectheta,dtheta
Isolando integralsec^3theta, obtemos
2integral sec^3theta,dtheta = secthetatantheta + lnl|sectheta+tanthetar| + C,
portanto
integral sec^3theta,dtheta = tfrac12secthetatantheta + tfrac12lnl|sectheta+tanthetar| + C

Passo 5

Voltando à integral original:
4integral sec^3theta,dtheta = 4l[tfrac12secthetatantheta + tfrac12lnl|sectheta+tanthetar|r] + C = 2secthetatantheta + 2lnl|sectheta+tanthetar| + C
Substituindo sectheta = raiz4+x^22 e tantheta = x2,
2secthetatantheta = 2cdotraiz4+x^22cdotx2 = x2raiz4+x^2,
2lnl|sectheta+tanthetar| = 2lnl|raiz4+x^22 + x2r| = 2lnl|x+raiz4+x^2r| + const

Resposta

x2raiz4+x^2 ;+;2lnl|x+raiz4+x^2r| ;+;C

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