Determine os valores extremos das funções e identifique onde eles ocorrem.
T 32. y=4+e x^{2}-e^{-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores extremos da função e identificar onde ocorrem. A função dada é
y = 4 + \mathrm{e}\,x^{2} - \mathrm{e}^{-x^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R} (domínio \mathbb{R}).
  • É preciso encontrar pontos críticos (onde y'=0 ou y' não existe), classificar esses pontos como máximo, mínimo ou ponto de sela, e verificar se são extremos locais ou globais.

Passo 2

Estratégia e conceitos básicos (explicação didática):
  • Para achar extremos locais, calculamos a derivada y' e resolvemos y'=0. Esses são os pontos críticos.
  • A derivada informa a inclinação da curva; se ela muda de sinal de negativo para positivo num ponto crítico, temos mínimo local; se muda de positivo para negativo, máximo local.
  • O teste da segunda derivada: se y''(x_{0})>0 então x_{0} é mínimo local; se y''(x_{0})<0 então x_{0} é máximo local. Esse teste usa a curvatura da função.
  • Depois de achar extremos locais, verificamos o comportamento da função quando |x|\to\infty para decidir se o extremo é global ou se existe máximo/global.

Passo 3

Calcular a derivada y' passo a passo:
  • Derivada de 4 é 0.
  • Derivada de \mathrm{e}\,x^{2}: aqui \mathrm{e} é constante, então \dfrac{d}{dx}(\mathrm{e}\,x^{2}) = \mathrm{e}\cdot 2x = 2\mathrm{e}x.
  • Derivada de -\mathrm{e}^{-x^{2}}: usar a regra da cadeia. Para u(x)= -x^{2} temos u'(x)=-2x. E \dfrac{d}{dx}\mathrm{e}^{u(x)}=\mathrm{e}^{u(x)}u'(x). Então \dfrac{d}{dx}\bigl(-\mathrm{e}^{-x^{2}}\bigr) = -\mathrm{e}^{-x^{2}}\cdot(-2x) = 2x\mathrm{e}^{-x^{2}}.
Somando os termos:
y' = 2\mathrm{e}x + 2x\mathrm{e}^{-x^{2}}.
Fatorando 2x:
y' = 2x\bigl(\mathrm{e} + \mathrm{e}^{-x^{2}}\bigr).

Passo 4

Encontrar pontos críticos resolvendo y'=0:
2x\bigl(\mathrm{e} + \mathrm{e}^{-x^{2}}\bigr)=0.
  • Uma solução é x=0.
  • A outra possibilidade seria \mathrm{e} + \mathrm{e}^{-x^{2}}=0, mas isso é impossível porque \mathrm{e}>0 e \mathrm{e}^{-x^{2}}>0, logo a soma é sempre positiva. Portanto não há outra solução.
    Conclusão: o único ponto crítico é x=0.

Passo 5

Classificar o ponto crítico usando a segunda derivada (explicação do teste e cálculo):
  • Regra: se y''(x_{0})>0 então mínimo local; se y''(x_{0})<0 então máximo local.
    Calcular y'' diferenciando y' = 2x(\mathrm{e} + \mathrm{e}^{-x^{2}}) (usar produto e cadeia):
y'' = 2\bigl(\mathrm{e} + \mathrm{e}^{-x^{2}}\bigr) + 2x\cdot\bigl(0 + \dfrac{d}{dx}\mathrm{e}^{-x^{2}}\bigr).
E \dfrac{d}{dx}\mathrm{e}^{-x^{2}} = \mathrm{e}^{-x^{2}}\cdot(-2x) = -2x\mathrm{e}^{-x^{2}}. Substituindo:
y'' = 2\bigl(\mathrm{e} + \mathrm{e}^{-x^{2}}\bigr) + 2x\cdot(-2x\mathrm{e}^{-x^{2}}) = 2\mathrm{e} + 2\mathrm{e}^{-x^{2}} -4x^{2}\mathrm{e}^{-x^{2}}.
Podemos reescrever:
y'' = 2\mathrm{e} + 2\mathrm{e}^{-x^{2}}(1-2x^{2}).
Avaliar em x=0:
y''(0) = 2\mathrm{e} + 2\mathrm{e}^{0}(1-0) = 2\mathrm{e} + 2 > 0.
Como y''(0)>0, por o teste da segunda derivada o ponto x=0 é um mínimo local.

Passo 6

Determinar se o mínimo é global e se existe máximo:
  • Calcular o valor da função em x=0: y(0) = 4 + \mathrm{e}\cdot 0^{2} - \mathrm{e}^{0} = 4 - 1 = 3.Então no ponto crítico temos y(0)=3.
  • Comportamento quando |x|\to\infty: o termo dominante é \mathrm{e}\,x^{2} que tende para +\infty quando |x|\to\infty. O termo -\mathrm{e}^{-x^{2}} tende para 0. Logo y(x)\to +\infty quando |x|\to\infty.
  • Assim não existe máximo global (a função cresce sem limite positivo), e o mínimo local em x=0 é na verdade mínimo global porque é o menor valor alcançado (já que função vai a +\infty nas extremidades e há apenas esse único ponto crítico).

Resposta

Mínimo global em x=0 com valor y_{\min}=3.
Não existe máximo ( y\to+\infty quando |x|\to\infty ).

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