Determine os valores extremos das funções e identifique onde eles ocorrem.
T 32.
T 32.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores extremos da função e identificar onde ocorrem. A função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A função está definida para todo
(domínio ). - É preciso encontrar pontos críticos (onde
ou não existe), classificar esses pontos como máximo, mínimo ou ponto de sela, e verificar se são extremos locais ou globais.
Passo 2
Estratégia e conceitos básicos (explicação didática):
- Para achar extremos locais, calculamos a derivada
e resolvemos . Esses são os pontos críticos. - A derivada informa a inclinação da curva; se ela muda de sinal de negativo para positivo num ponto crítico, temos mínimo local; se muda de positivo para negativo, máximo local.
- O teste da segunda derivada: se
então é mínimo local; se então é máximo local. Esse teste usa a curvatura da função. - Depois de achar extremos locais, verificamos o comportamento da função quando
para decidir se o extremo é global ou se existe máximo/global.
Passo 3
Calcular a derivada
passo a passo:
- Derivada de
é . - Derivada de
: aqui é constante, então . - Derivada de
: usar a regra da cadeia. Para temos . E . Então
Somando os termos:
Fatorando
:
Passo 4
Encontrar pontos críticos resolvendo
:
- Uma solução é
. - A outra possibilidade seria
, mas isso é impossível porque e , logo a soma é sempre positiva. Portanto não há outra solução.
Conclusão: o único ponto crítico é.
Passo 5
Classificar o ponto crítico usando a segunda derivada (explicação do teste e cálculo):
- Regra: se
então mínimo local; se então máximo local.
Calculardiferenciando (usar produto e cadeia):
E
. Substituindo:
Podemos reescrever:
Avaliar em
:
Como
, por o teste da segunda derivada o ponto
é um mínimo local.
Passo 6
Determinar se o mínimo é global e se existe máximo:
- Calcular o valor da função em
: Então no ponto crítico temos . - Comportamento quando
: o termo dominante é que tende para quando . O termo tende para . Logo quando . - Assim não existe máximo global (a função cresce sem limite positivo), e o mínimo local em
é na verdade mínimo global porque é o menor valor alcançado (já que função vai a nas extremidades e há apenas esse único ponto crítico).
Resposta
Mínimo global em
com valor
.
Não existe máximo ( quando
).
Não existe máximo (