Determine os valores extremos das funções e identifique onde eles ocorrem.
T 31. y=\frac{\ln x}{x}

Passo 1

O enunciado dá a função y=\dfrac{\ln x}{x} e pede que eu determine os valores extremos da função e onde eles ocorrem. Informações fornecidas:
  • A expressão da função é y=\dfrac{\ln x}{x}.
  • O domínio natural desta função é x>0 (pois \ln x só está definido para x>0).
    As perguntas a responder são:
  • Quais são os pontos críticos e quais são os extremos (máximos e mínimos)?
  • Em que pontos esses extremos ocorrem?
    Nada mais foi dado.

Passo 2

Primeiro passo técnico: encontrar os pontos críticos calculando a derivada y'. Vou reescrever a função de forma conveniente para derivar:
y=\dfrac{\ln x}{x}=(\ln x)\,x^{-1}.
Para derivar uso a regra do produto: se u(x)=\ln x e v(x)=x^{-1}, então
y' = u'v + uv'.
Agora calculo u' e v':
u'(x)=\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \qquad v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.
Substituindo na regra do produto:
y'=\frac{1}{x}\cdot x^{-1} + (\ln x)\cdot\bigl(-x^{-2}\bigr).
Colocando tudo sobre uma mesma potência de x:
y'=\frac{1}{x^{2}} - \frac{\ln x}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}.

Passo 3

Agora determino os pontos críticos: pontos onde y'=0 ou onde y' não está definida (dentro do domínio).
  • y' só pode ser zero quando o numerador for zero, pois o denominador x^{2}>0 para todo x>0. Logo
1-\ln x=0 \quad\Rightarrow\quad \ln x=1 \quad\Rightarrow\quad x=e.
  • y' não está definida em x=0, mas x=0 não pertence ao domínio x>0, então não conta.
    Portanto o único ponto crítico no domínio é x=e.

Passo 4

Para classificar o extremo em x=e posso usar o teste da segunda derivada. Vou calcular y'' derivando y'=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}. Para isso é confortável usar a forma y'=(1-\ln x)x^{-2} e aplicar a regra do produto novamente com u(x)=1-\ln x e v(x)=x^{-2}.
Calculo u' e v':
u'(x)=\frac{d}{dx}(1-\ln x)=-\frac{1}{x}, \qquad v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr)=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^{3}}.
Aplicando y''=u'v+uv':
y''=-\frac{1}{x}\cdot x^{-2} + (1-\ln x)\cdot\Bigl(-\frac{2}{x^{3}}\Bigr) = -\frac{1}{x^{3}} - \frac{2(1-\ln x)}{x^{3}}.
Colocando termos juntos:
y''=\frac{-1 -2(1-\ln x)}{x^{3}}=\frac{2\ln x -3}{x^{3}}.

Passo 5

Avalio y'' em x=e:
y''(e)=\frac{2\ln e -3}{e^{3}}=\frac{2\cdot1 -3}{e^{3}}=\frac{-1}{e^{3}}<0.
Como a segunda derivada é negativa em x=e, pelo teste da segunda derivada isso indica que x=e é um ponto de máximo local.

Passo 6

Para ter uma visão completa (e saber se o máximo é global), analiso o sinal de y':
y'(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}.
  • Se 0<x<e, então \ln x<1 e 1-\ln x>0, logo y'(x)>0: a função é crescente em (0,e).
  • Se x>e, então \ln x>1 e 1-\ln x<0, logo y'(x)<0: a função é decrescente em (e,\infty).
    Portanto a função aumenta em (0,e) e depois decresce em (e,\infty). Isso significa que o máximo em x=e é, na verdade, um máximo global no domínio x>0.

Passo 7

Verifico os limites nas extremidades do domínio para completar a classificação:
  • Limite quando x\to 0^{+}. Faço a substituição x=e^{-t} com t\to+\infty. Então
\frac{\ln x}{x}=\frac{-t}{e^{-t}}=-t e^{t}\xrightarrow{t\to\infty}-\infty.
Logo \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{x}=-\infty.
  • Limite quando x\to+\infty. Aplico regra de L’Hôpital a \lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}{x}:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=0.
Portanto \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0.
Como a função tende a -\infty quando x\to0^{+} e a 0 quando x\to\infty, e como atinge \dfrac{1}{e} em x=e, concluímos que esse valor em x=e é de fato o máximo absoluto (global). Não existe mínimo absoluto finito (o ínfimo é -\infty).

Passo 8

Calculo também o valor da função no ponto crítico para apresentar o extremo numérico:
y(e)=\frac{\ln e}{e}=\frac{1}{e}.
Em números, \dfrac{1}{e}\approx 0,3679.

Resposta

Máximo global: y=\dfrac{1}{e} em x=e.
Não existe mínimo global (infimum =-\infty, pois \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\ln x}{x}=-\infty).

Exercícios relacionados