y' não está definida em x=0, mas x=0 não pertence ao domínio x>0, então não conta.
Portanto o único ponto crítico no domínio é x=e.
Passo 4
Para classificar o extremo em x=e posso usar o teste da segunda derivada. Vou calcular y'' derivando y'=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}. Para isso é confortável usar a forma y'=(1-\ln x)x^{-2} e aplicar a regra do produto novamente com u(x)=1-\ln x e v(x)=x^{-2}.
Calculo u' e v':
y''=\frac{-1 -2(1-\ln x)}{x^{3}}=\frac{2\ln x -3}{x^{3}}.
Passo 5
Avalio y'' em x=e:
y''(e)=\frac{2\ln e -3}{e^{3}}=\frac{2\cdot1 -3}{e^{3}}=\frac{-1}{e^{3}}<0.
Como a segunda derivada é negativa em x=e, pelo teste da segunda derivada isso indica que x=e é um ponto de máximo local.
Passo 6
Para ter uma visão completa (e saber se o máximo é global), analiso o sinal de y':
y'(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}.
Se 0<x<e, então \ln x<1 e 1-\ln x>0, logo y'(x)>0: a função é crescente em (0,e).
Se x>e, então \ln x>1 e 1-\ln x<0, logo y'(x)<0: a função é decrescente em (e,\infty).
Portanto a função aumenta em (0,e) e depois decresce em (e,\infty). Isso significa que o máximo em x=e é, na verdade, um máximo global no domínio x>0.
Passo 7
Verifico os limites nas extremidades do domínio para completar a classificação:
Limite quando x\to 0^{+}. Faço a substituição x=e^{-t} com t\to+\infty. Então
Portanto \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0.
Como a função tende a -\infty quando x\to0^{+} e a 0 quando x\to\infty, e como atinge \dfrac{1}{e} em x=e, concluímos que esse valor em x=e é de fato o máximo absoluto (global). Não existe mínimo absoluto finito (o ínfimo é -\infty).
Passo 8
Calculo também o valor da função no ponto crítico para apresentar o extremo numérico:
y(e)=\frac{\ln e}{e}=\frac{1}{e}.
Em números, \dfrac{1}{e}\approx 0,3679.
Resposta
Máximo global: y=\dfrac{1}{e} em x=e.
Não existe mínimo global (infimum =-\infty, pois \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\ln x}{x}=-\infty).