Determine os valores extremos das funções e identifique onde eles ocorrem.
y=\frac{1}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores extremos da função e onde eles ocorrem para a função
y=\frac{1}{x^{2}-1}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (visíveis já pela fórmula):
  • A função está definida por \,y=\dfrac{1}{x^{2}-1}\,.
  • O denominador fica zero quando x^{2}-1=0, isto é, em x=\pm1. Nesses pontos a função não está definida (possíveis assíntotas verticais).
  • A tarefa é encontrar extremos (máximos e mínimos) e suas posições x (e os valores y).

Passo 2

Determinar o domínio da função (é informação útil para procurar extremos).
A função é indefinida quando x^{2}-1=0. Logo os pontos excluídos são x=\pm1. Portanto o domínio é
(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).

Passo 3

Calcular a derivada primeira \,y'\, (ponto de partida para achar extremos críticos).
É conveniente reescrever a função como \,y=(x^{2}-1)^{-1}. Usamos a regra da cadeia e a regra da potência:
  • Se y=(u(x))^{n}, então y'=n\,(u(x))^{n-1}\,u'(x).
    Aqui u(x)=x^{2}-1 e u'(x)=2x, com n=-1. Assim
y' = -1\,(x^{2}-1)^{-2}\cdot(2x) = -2x\,(x^{2}-1)^{-2}.
Escrevendo em forma racional:
y' = \frac{-2x}{(x^{2}-1)^{2}}.

Passo 4

Encontrar pontos críticos (onde y'=0 ou y' não existe, mas pertencem ao domínio).
  • Zeros de y': \,y'=0 quando o numerador -2x=0, ou seja em x=0.
  • Pontos onde y' não existe: quando o denominador (x^{2}-1)^{2}=0, isto é em x=\pm1; porém esses x não pertencem ao domínio da função, logo não são pontos críticos válidos para extremos.
    Conclusão: o único ponto crítico interno é x=0. Vamos calcular o valor da função aí:
y(0)=\frac{1}{0^{2}-1}=\frac{1}{-1}=-1.
Portanto o candidato a extremo é o ponto \,(0,-1).

Passo 5

Classificar o extremo em x=0 usando análise do sinal de y' (teste da primeira derivada), método simples e confiável aqui.
Observação: (x^{2}-1)^{2}>0 para todo x no domínio (é quadrado), então o sinal de y' é o sinal de -2x:
  • Se x<0 então -2x>0 e portanto y'>0 (função crescente).
  • Se x>0 então -2x<0 e portanto y'<0 (função decrescente).
    Assim a função é crescente para x vindos da esquerda de 0 e decrescente à direita de 0. Isso significa que em x=0 a função passa de crescer para decrescer, logo x=0 é um ponto de máximo local. O valor do máximo local é y(0)=-1.
Para confirmar, pode-se também usar a derivada segunda. Vamos calcular rapidamente \,y'', e avaliar em 0.
Partindo de y'=-2x(x^{2}-1)^{-2} e derivando (produto e cadeia),
y''=\frac{2(3x^{2}+1)}{(x^{2}-1)^{3}}.
Avaliando em x=0:
y''(0)=\frac{2(0+1)}{(0-1)^{3}}=\frac{2}{-1}=-2<0.
Como y''(0)<0, confirma-se que x=0 é um ponto de máximo local.

Passo 6

Verificação de existência de extremos globais (absolutos) e comportamento nas bordas/assíntotas.
  • Comportamento perto de x=\pm1: ao aproximar-se de 1 ou -1 a função tende a \pm\infty dependendo do lado, portanto não há valor máximo absoluto finito (pois perto das assíntotas a função alcança valores arbitrariamente grandes positivos).
  • Comportamento em infinito: \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^{2}-1}=0^{+}. A função positiva para |x|>1 aproxima-se de 0 por cima, mas nunca atinge 0, então 0 é apenas limite inferior das partes positivas (infimum) e não é valor alcançado.
  • No intervalo (-1,1) a função é negativa, tende a -\infty nas bordas e assume -1 em x=0. Assim -1 é o maior valor dentro de (-1,1) (máximo relativo), mas globalmente existem valores arbitrariamente grandes positivos fora desse intervalo, então -1 não é máximo absoluto da função em todo o domínio.
    Conclusão: não existem máximos ou mínimos absolutos finitos; existe apenas o máximo local em x=0.

Resposta

Máximo local: (0,-1).
Não há mínimos locais.
Não há máximo absoluto nem mínimo absoluto.

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