Determine os valores extremos das funções e identifique onde eles ocorrem.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores extremos da função e onde eles ocorrem para a função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (visíveis já pela fórmula):
- A função está definida por
. - O denominador fica zero quando
, isto é, em . Nesses pontos a função não está definida (possíveis assíntotas verticais). - A tarefa é encontrar extremos (máximos e mínimos) e suas posições
(e os valores ).
Passo 2
Determinar o domínio da função (é informação útil para procurar extremos).
A função é indefinida quando . Logo os pontos excluídos são
. Portanto o domínio é
A função é indefinida quando
Passo 3
Calcular a derivada primeira
(ponto de partida para achar extremos críticos).
É conveniente reescrever a função como Usamos a regra da cadeia e a regra da potência:
É conveniente reescrever a função como
- Se
, então .
Aquie , com . Assim
Escrevendo em forma racional:
Passo 4
Encontrar pontos críticos (onde
ou
não existe, mas pertencem ao domínio).
- Zeros de
: quando o numerador , ou seja em . - Pontos onde
não existe: quando o denominador , isto é em ; porém esses não pertencem ao domínio da função, logo não são pontos críticos válidos para extremos.
Conclusão: o único ponto crítico interno é. Vamos calcular o valor da função aí:
Portanto o candidato a extremo é o ponto
.
Passo 5
Classificar o extremo em
usando análise do sinal de
(teste da primeira derivada), método simples e confiável aqui.
Observação: para todo
no domínio (é quadrado), então o sinal de
é o sinal de
:
Observação:
- Se
então e portanto (função crescente). - Se
então e portanto (função decrescente).
Assim a função é crescente paravindos da esquerda de e decrescente à direita de . Isso significa que em a função passa de crescer para decrescer, logo é um ponto de máximo local. O valor do máximo local é .
Para confirmar, pode-se também usar a derivada segunda. Vamos calcular rapidamente
, e avaliar em
.
Partindo de e derivando (produto e cadeia),
Partindo de
Avaliando em
:
Como
, confirma-se que
é um ponto de máximo local.
Passo 6
Verificação de existência de extremos globais (absolutos) e comportamento nas bordas/assíntotas.
- Comportamento perto de
: ao aproximar-se de ou a função tende a dependendo do lado, portanto não há valor máximo absoluto finito (pois perto das assíntotas a função alcança valores arbitrariamente grandes positivos). - Comportamento em infinito:
. A função positiva para aproxima-se de por cima, mas nunca atinge , então é apenas limite inferior das partes positivas (infimum) e não é valor alcançado. - No intervalo
a função é negativa, tende a nas bordas e assume em . Assim é o maior valor dentro de (máximo relativo), mas globalmente existem valores arbitrariamente grandes positivos fora desse intervalo, então não é máximo absoluto da função em todo o domínio.
Conclusão: não existem máximos ou mínimos absolutos finitos; existe apenas o máximo local em.
Resposta
Máximo local:
.
Não há mínimos locais.
Não há máximo absoluto nem mínimo absoluto.
Não há mínimos locais.
Não há máximo absoluto nem mínimo absoluto.