Determine os valores extremos globais da função no domínio dado.
Passo 1
Temos a função
definida no domínio fechado e limitado
. O objetivo é encontrar os extremos globais de uma função de duas variáveis num domínio compacto. Vamos precisar calcular os pontos críticos internos (onde o gradiente é zero) e depois examinar as fronteiras para comparar os valores obtidos.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais e igualá-las a zero:
e
. Da equação
vem
. De
vem
. Substituindo, obtemos
, logo
ou
. Dessa forma os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Avaliar
nesses pontos:
e
.
Passo 4
Analisar as fronteiras do quadrado:
- Em
: , no intervalo varia de 0 (em ) até 1 (em ). - Em
: , no intervalo varia de 0 (em ) até 1 (em ). - Em
: . Derivando em relação a , dá (único no intervalo). Avaliando nos extremos: e . - Em
: . Derivada dá . Avaliando nos extremos: e .
Passo 5
Comparando todos os valores obtidos (0, 1 e -1), vemos que o maior valor é 1 e o menor é -1.
Resposta
O valor máximo global de
no domínio é 1, atingido nos pontos
e
. O valor mínimo global é -1, atingido no ponto
.