Determine os valores extremos globais da função no domínio dado.
f(x, y)=x^3+y^3-3 x y, D=(x, y) mid 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x^3+y^3-3xy definida no domínio fechado e limitado D=[0,1]times[0,1]. O objetivo é encontrar os extremos globais de uma função de duas variáveis num domínio compacto. Vamos precisar calcular os pontos críticos internos (onde o gradiente é zero) e depois examinar as fronteiras para comparar os valores obtidos.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais e igualá-las a zero: fx=3x^2-3y e fy=3y^2-3x. Da equação 3x^2-3y=0 vem y=x^2. De 3y^2-3x=0 vem x=y^2. Substituindo, obtemos y=(y^2)^2=y^4, logo y=0 ou y=1. Dessa forma os pontos críticos são (0,0) e (1,1).

Passo 3

Avaliar f nesses pontos: f(0,0)=0+0-0=0 e f(1,1)=1+1-3= -1.

Passo 4

Analisar as fronteiras do quadrado:
  • Em x=0: f(0,y)=y^3, no intervalo yin[0,1] varia de 0 (em y=0) até 1 (em y=1).
  • Em y=0: f(x,0)=x^3, no intervalo xin[0,1] varia de 0 (em x=0) até 1 (em x=1).
  • Em x=1: f(1,y)=1+y^3-3y. Derivando em relação a y, 3y^2-3=0 y=1 (único no intervalo). Avaliando nos extremos: f(1,0)=1 e f(1,1)=-1.
  • Em y=1: f(x,1)=x^3+1-3x. Derivada 3x^2-3=0 x=1. Avaliando nos extremos: f(0,1)=1 e f(1,1)=-1.

Passo 5

Comparando todos os valores obtidos (0, 1 e -1), vemos que o maior valor é 1 e o menor é -1.

Resposta

O valor máximo global de f no domínio é 1, atingido nos pontos (1,0) e (0,1). O valor mínimo global é -1, atingido no ponto (1,1).

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