(1.0) Resolva:
(a) Encontre uma equação da reta r que passa pelos pontos P_{1}=(3,1,4) e P_{2}=(1,2,3).
(b) Encontre uma equação do plano \pi que passa pelos pontos
Q_{1}=(-2,0,0), \quad Q_{2}=(0,2,0) \text { e } Q_{3}=(-2,0,2) .
(c) Determine a interseção entre r e \pi, isto é, encontre ( r \cap \pi ).

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) a equação da reta r que passa por P_{1}=(3,1,4) e P_{2}=(1,2,3); (b) a equação do plano \pi que passa por Q_{1}=(-2,0,0), Q_{2}=(0,2,0) e Q_{3}=(-2,0,2); (c) o ponto de interseção r\cap\pi. Para isso vamos usar conceitos de vetores diretores, produto vetorial (para achar o normal do plano) e substituição da forma paramétrica da reta na equação do plano.

Passo 2

Para a reta r determinamos o vetor diretor subtraindo
\overrightarrow{P_{1}P_{2}} = P_{2}-P_{1} = (1-3,\;2-1,\;3-4) = (-2,1,-1).
Logo uma equação paramétrica de r é
(x,y,z) = (3,1,4) + t\,(-2,1,-1),
onde t\in\mathbb{R}. Opcionalmente, na forma simétrica:
\frac{x-3}{-2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-4}{-1}.

Passo 3

Para o plano \pi usamos dois vetores que ligam Q_{1} a Q_{2} e a Q_{3}:
\overrightarrow{Q_{1}Q_{2}} = (0-(-2),\,2-0,\,0-0) = (2,2,0),
\overrightarrow{Q_{1}Q_{3}} = (-2-(-2),\,0-0,\,2-0) = (0,0,2).
O vetor normal \mathbf{n} ao plano é o produto vetorial
\mathbf{n} = \overrightarrow{Q_{1}Q_{2}}\times\overrightarrow{Q_{1}Q_{3}} = (2,2,0)\times(0,0,2) = (4,-4,0).
Podemos simplificar para (1,-1,0). Então a equação de \pi é
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-Q_{1}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad 1\,(x+2)-1\,(y-0)+0\,(z-0)=0
ou seja
x - y + 2 = 0.

Passo 4

Para achar r\cap\pi substituímos a forma paramétrica de r em x - y + 2=0. Como
(x,y,z) = (3-2t,\,1+t,\,4-t),
temos
(3-2t)-(1+t)+2=0 \quad\Longrightarrow\quad 4-3t=0 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{4}{3}.
O ponto de interseção corresponde a
\bigl(x,y,z\bigr) =\Bigl(3-2\cdot\frac{4}{3},\,1+\frac{4}{3},\,4-\frac{4}{3}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{1}{3},\,\tfrac{7}{3},\,\tfrac{8}{3}\Bigr).

Resposta

(a) A reta r pode ser dada por
(x,y,z) = (3,1,4) + t\,(-2,1,-1),\quad t\in\mathbb{R}.
(b) O plano \pi tem equação
x - y + 2 = 0.
(c) A interseção r\cap\pi é o ponto
\Bigl(\tfrac{1}{3},\,\tfrac{7}{3},\,\tfrac{8}{3}\Bigr).

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