Verifique se as funções abaixo são contínuas.
Passo 1
Fala! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para verificar se a função
é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como aplicar isso na função tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se não tiver “quebras”, “saltos” ou “buracos” naquele ponto. Mais formalmente,
é contínua em
se:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Sabemos que a tangente pode ser escrita como:
Para que
esteja bem definida, o denominador
não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida.
Passo 4
Vamos descobrir onde
. A função cosseno é igual a zero em:
Isso significa que em todos esses pontos,
não está definida, pois teríamos uma divisão por zero.
Passo 5
Em todos os outros pontos, onde
, a função
está bem definida. Além disso, tanto
quanto
são funções contínuas onde estão definidas, e a divisão de duas funções contínuas (com o denominador não nulo) também é contínua.
Passo 6
Portanto, podemos concluir que a função
é contínua em todos os pontos do seu domínio, ou seja, em todos os
onde
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos onde está definida, isto é, em todos os
diferentes de
para qualquer inteiro
. Nos pontos onde
, a função apresenta descontinuidades.