Verifique se as funções abaixo são contínuas.
f(x)=tan (x)

Passo 1

Fala! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para verificar se a função f(x) = tan(x) é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como aplicar isso na função tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se não tiver “quebras”, “saltos” ou “buracos” naquele ponto. Mais formalmente, f(x) é contínua em x = a se:
  1. f(a) está definida.
  2. O limite de f(x) quando x se aproxima de a existe.
  3. O limite de f(x) quando x se aproxima de a é igual a f(a) .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função tan(x) . Sabemos que a tangente pode ser escrita como:
tan(x) = sin(x)cos(x)
Para que tan(x) esteja bem definida, o denominador cos(x) não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida.

Passo 4

Vamos descobrir onde cos(x) = 0 . A função cosseno é igual a zero em:
x = pi2 + kpi onde k é inteiro é
Isso significa que em todos esses pontos, tan(x) não está definida, pois teríamos uma divisão por zero.

Passo 5

Em todos os outros pontos, onde cos(x) neq 0 , a função tan(x) está bem definida. Além disso, tanto sin(x) quanto cos(x) são funções contínuas onde estão definidas, e a divisão de duas funções contínuas (com o denominador não nulo) também é contínua.

Passo 6

Portanto, podemos concluir que a função tan(x) é contínua em todos os pontos do seu domínio, ou seja, em todos os x onde cos(x) neq 0 .

Resposta

A função f(x) = tan(x) é contínua em todos os pontos onde está definida, isto é, em todos os x diferentes de pi2 + kpi para qualquer inteiro k . Nos pontos onde cos(x) = 0 , a função apresenta descontinuidades.

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