Determine os valores de x, nos quais a função dada é contínua.
f(x)= \begin{cases}3 x-1 & \text { se } x>2 \\ 4-x^{2} & \text { se } 2 \leq x\end{cases}

Passo 1

O enunciado apresenta a função f\) definida por \[f(x)= \begin{cases} 3x-1, & x>2,\\\\ 4 - x^2, & x\le 2. \end{cases}
Estamos no tópico de continuidade de funções definidas por partes. Para verificar onde f\] é contínua, vamos usar que polinômios são contínuos em toda parte e só precisamos checar o ponto de junção \(x=2.

Passo 2

Cada ramo é um polinômio 3x-1 para x>2 e 4-x^2 para x\le2, e polinômios são contínuos em \mathbb{R}. Logo, f é contínua em todos os pontos de (-\infty,2) e de (2,\infty) sem precisar de mais cálculo.

Passo 3

Verificamos a continuidade em x=2 calculando limites laterais e valor de f(2):
\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^-}(4-x^2)=4-2^2=0,
f(2)=4-2^2=0,
\lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^+}(3x-1)=3\cdot2-1=5.
Como \lim_{x\to2^-}f(x)=0\neq5=\lim_{x\to2^+}f(x), a função não é contínua em x=2.

Resposta

A função f é contínua para todos os x\neq2, isto é, em (-\infty,2)\cup(2,\infty).

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