(a) Mostre que a solução (7) da equação linear geral (1) pode ser colocada na forma
y=c y_{1}(t)+y_{2}(t),
onde c é uma constante arbitrária. Identifique as funçōes y_{1} e y_{2}.
(b) Mostre que y_{1} é uma solução da equação diferencial
y^{\prime}+p(t) y=0 .
correspondente a g(t)=0.
(c) Mostre que y_{2} é solução da equação linear geral (1). Veremos mais tarde (por exemplo, na Seção 3.5) que soluções de equações lineares de ordem mais alta têm um padrão semelhante ao da Eq. (i).

Passo 1

O enunciado trata da equação linear de primeira ordem
y' + p(t)\,y = g(t),
cuja solução geral está na forma (7) dada pelo método do fator integrante:
y(t) = \exp\!\Bigl(-\!\!\int p(t)\,dt\Bigr)\,\Bigl[\int g(t)\,\exp\!\bigl(\!\int p(t)\,dt\bigr)\,dt \;+\;C\Bigr].
O objetivo é mostrar que isso pode ser escrito como
y(t)=c\,y_{1}(t)+y_{2}(t),
identificar y_{1} e y_{2}, provar que y_{1} resolve a equação homogênea y'+p(t)y=0 e que y_{2} é uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Definimos
P(t)=\int p(t)\,dt
e escrevemos a solução geral como
y(t)=e^{-P(t)}\Bigl[C+\!\!\int g(t)\,e^{P(t)}\,dt\Bigr].
Logo podemos separar
y(t)=C\underbrace{e^{-P(t)}}_{y_{1}(t)}\;+\;\underbrace{e^{-P(t)}\int g(t)\,e^{P(t)}\,dt}_{y_{2}(t)}.
Portanto
y_{1}(t)=e^{-P(t)}, \quad y_{2}(t)=e^{-P(t)}\int g(t)\,e^{P(t)}\,dt.

Passo 3

Vamos checar que y_{1} resolve a homogênea y'+p(t)y=0. Temos
y_{1}'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{-P(t)}\bigr) =-p(t)\,e^{-P(t)},
então
y_{1}'+p(t)\,y_{1} =-p(t)\,e^{-P(t)}+p(t)\,e^{-P(t)}=0.
Isto mostra que y_{1} é solução de y'+p(t)y=0.

Passo 4

Agora verificamos que y_{2} é solução particular de y'+p(t)y=g(t). Escrevendo
y_{2}(t)=e^{-P(t)}\!\!\int g(t)\,e^{P(t)}\,dt,
diferenciando, pelo produto,
y_{2}'= -p(t)\,e^{-P(t)}\!\!\int g\,e^{P}dt \;+\;e^{-P(t)}\,g(t)\,e^{P(t)} =-p(t)\,y_{2}(t)+g(t).
Logo
y_{2}'+p(t)\,y_{2}=g(t),
ou seja, y_{2} satisfaz a equação completa.

Resposta

y_{1}(t)=e^{-\displaystyle\int p(t)\,dt} y_{2}(t)=e^{-\displaystyle\int p(t)\,dt}\displaystyle\int g(t)\,e^{\displaystyle\int p(t)\,dt}\,dt
e a solução geral fica
y(t)=c\,y_{1}(t)+y_{2}(t).

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