(a) Mostre que a solução (7) da equação linear geral (1) pode ser colocada na forma
y=c y_{1}(t)+y_{2}(t),
onde c é uma constante arbitrária. Identifique as funçōes y_{1} e y_{2}.
(b) Mostre que y_{1} é uma solução da equação diferencial
y^{\prime}+p(t) y=0 .
correspondente a g(t)=0.
(c) Mostre que y_{2} é solução da equação linear geral (1). Veremos mais tarde (por exemplo, na Seção 3.5) que soluções de equações lineares de ordem mais alta têm um padrão semelhante ao da Eq. (i).
Passo 1
O enunciado trata da equação linear de primeira ordem
y' + p(t)\,y = g(t),
cuja solução geral está na forma (7) dada pelo método do fator integrante:
y_{1}(t)=e^{-\displaystyle\int p(t)\,dt} y_{2}(t)=e^{-\displaystyle\int p(t)\,dt}\displaystyle\int g(t)\,e^{\displaystyle\int p(t)\,dt}\,dt
e a solução geral fica