Determine os valores de a parà que a função f(x, y)=lla x^2+2 a y+y^2-1 & se (x, y) neq(2,1) a^2 y+52 x & se (x, y)=(2,1) seja contínua no ponto (2,1).

Passo 1

O enunciado pede os valores de
contínua em ((2,1)]. Para isso, precisamos que

Passo 2

Como a parte para (x,y)neq(2,1) é um polinômio, o limite quando (x,y)to(2,1) é obtido simplesmente substituindo x=2 e y=1:
lim(x,y)to(2,1) l(a x^2 + 2a y + y^2 - 1r) = acdot 2^2 + 2acdot1 + 1^2 - 1 = 4a + 2a + 1 - 1 = 6a

Passo 3

O valor da função no ponto (2,1) vem da segunda definição:
f(2,1) = a^2cdot1 + tfrac52cdot2 = a^2 + 5

Passo 4

Para continuidade, igualamos o limite ao valor da função:
6a = a^2 + 5 ;Longrightarrow; a^2 - 6a + 5 = 0
Essa equação quadrática fatoriza:
(a-1)(a-5) = 0 ;Longrightarrow; a = 1 ou a = 5

Resposta

a = 1 ou a = 5.

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