Determine os valores de a para que a função f(x, y)=ll2 x^2+y^2-x y+1 & se (x, y) neq(1,-1) raiz(a x)^2+9 y^2 & se (x, y)=(1,-1) seja continua no ponto ( 1,-1 ).

Passo 1

O enunciado define uma função por partes em R^2 e pede valores de a para que ela seja contínua em (1,-1). Para funções de duas variáveis a continuidade em (1,-1) exige
lim(x,y)to(1,-1)f(x,y) ;=; f(1,-1)

Passo 2

Como em qualquer ponto diferente de (1,-1) temos
f(x,y)=2x^2+y^2-xy+1,
e essa expressão é um polinômio (logo contínuo), o limite quando (x,y)to(1,-1) é simplesmente o valor obtido ao substituir:
lim(x,y)to(1,-1)l(2x^2+y^2-xy+1r) =2cdot1^2+(-1)^2-1cdot(-1)+1=2+1+1+1=5

Passo 3

No ponto (1,-1) a função vale
f(1,-1)=raiz(acdot1)^2+9cdot(-1)^2 =raiza^2+9
Igualando esse valor ao limite encontrado,
raiza^2+9=5 Longrightarrow a^2+9=25 Longrightarrow a^2=16 Longrightarrow a=pm4

Resposta

a=4 ou a=-4.

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