Determine os valores de x para os quais a função
f(x)= x^4-1x-1, & se x<1 e^x-1+3, & se x >= 1
seja contínua.

Passo 1

O enunciado define
f(x)= dfracx^4-1x-1, & x<1,[1em] e^x-1+3, & x>=1,
e pede os valores de x em que f é contínua. Para isso precisamos lembrar que:
  • Uma função racional é contínua em todo ponto do domínio (desde que o denominador não zere).
  • A função exponencial é contínua em R.
  • Para continuidade no ponto de fronteira x=1, devemos ter limxto1^-f(x)=f(1)=limxto1^+f(x) ]

Passo 2

Analisando x<1, temos
f(x)=x^4-1x-1
Fatorando o numerador:
x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)
Para xneq1 (e em particular para todo x<1) podemos cancelar (x-1) e obter
f(x)=(x+1)(x^2+1),
que é um polinômio e, portanto, contínuo em todo o intervalo (-infty,1).

Passo 3

Para x>1 e em x=1 pela direita,
f(x)=e^x-1+3,
que é composição de funções contínuas ( e^u e u(x)=x-1), logo contínua em [1,infty). Em particular,
f(1)=e^1-1+3=1+3=4

Passo 4

Falta checar continuidade em x=1 pela esquerda. Calculamos
limxto1^-f(x) =limxto1^-(x+1)(x^2+1) =(1+1)(1^2+1) =2cdot2 =4
No lado direito,
limxto1^+f(x)=e^1-1+3=4,
e f(1)=4. Como todos coincidem, f é contínua em x=1.

Resposta

A função f é contínua para todo xinR.

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