Determine os valores de
para os quais a função
seja contínua.
Passo 1
O enunciado define
e pede os valores de
x em que
f é contínua. Para isso precisamos lembrar que:
- Uma função racional é contínua em todo ponto do domínio (desde que o denominador não zere).
- A função exponencial é contínua em
.R - Para continuidade no ponto de fronteira
, devemos terx=1 ]limxto1^-f(x)=f(1)=limxto1^+f(x)
Passo 2
Analisando
x<1 , temos
Fatorando o numerador:
Para
xneq1 (e em particular para todo
x<1 ) podemos cancelar
(x-1) e obter
que é um polinômio e, portanto, contínuo em todo o intervalo
(-infty,1) .
Passo 3
Para
x>1 e em
x=1 pela direita,
que é composição de funções contínuas (
e^u e
u(x)=x-1 ), logo contínua em
[1,infty) . Em particular,
Passo 4
Falta checar continuidade em
x=1 pela esquerda. Calculamos
No lado direito,
e
f(1)=4 . Como todos coincidem,
f é contínua em
x=1 .
Resposta
A função
f é contínua para todo
xinR .