Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação
cos x=x^2-10
possui solução.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) a fim de mostrar que a equação
cos x = x^2 - 10
possui pelo menos uma solução real. O conteúdo envolvido é o TVI, que afirma que se f é contínua num intervalo [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe cin(a,b) tal que f(c)=0. Vamos definir uma função apropriada e avaliar em dois pontos.

Passo 2

Definimos
f(x) = cos x - (x^2 - 10) = cos x - x^2 + 10
Sabemos que xmapstocos x é contínua em R e xmapsto x^2 também é contínua em R. Como combinação de funções contínuas, f é contínua em R.

Passo 3

Calculamos f(3):
f(3) = cos 3 - 3^2 + 10 approx (-0,9899) - 9 + 10 = 0,0101 > 0

Passo 4

Calculamos f(4):
f(4) = cos 4 - 4^2 + 10 approx (-0,6536) - 16 + 10 = -6,6536 < 0

Passo 5

Como f é contínua em [3,4] e f(3)>0, f(4)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe cin(3,4) tal que
f(c)=0,
ou seja,
cos c = c^2 - 10

Resposta

A equação cos x = x^2 - 10 possui pelo menos uma solução real no intervalo (3,4).

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