As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são (x+5) \mathrm{cm} \mathrm{e}(x+1) \mathrm{cm} \mathrm{e} \mathrm{a} hipotenusa (x+9) \mathrm{cm}. Determine o perímetro desse triângulo.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo cujos catetos medem (x+5) cm e (x+1) cm, e a hipotenusa mede (x+9) cm. Para encontrar o perímetro, vamos primeiro determinar o valor de x usando o Teorema de Pitágoras e depois somar as medidas dos três lados.

Passo 2

Pelo Teorema de Pitágoras, temos
(x+5)^2 + (x+1)^2 = (x+9)^2.
Expandindo os quadrados:
x^2 + 10x + 25 + x^2 + 2x + 1 = x^2 + 18x + 81
e agrupando termos,
2x^2 + 12x + 26 = x^2 + 18x + 81.

Passo 3

Subtraindo o lado direito do esquerdo para obter uma equação igualada a zero:
2x^2 + 12x + 26 - (x^2 + 18x + 81) = 0
x^2 - 6x - 55 = 0.
Resolvendo essa equação quadrática pela fórmula de Bhaskara,
x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 220}}{2} = \frac{6 \pm 16}{2} \implies x = 11 \text{ ou } x = -5.
Como um comprimento não pode ser negativo, escolhemos x = 11.

Passo 4

Agora calculamos o perímetro somando as medidas dos lados:
P = (x+5) + (x+1) + (x+9) = 3x + 15.
Substituindo x = 11:
P = 3\cdot 11 + 15 = 33 + 15 = 48\text{ cm}.

Resposta

48 cm

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