Use multiplicadores de Lagrange para determinar o valor máximo de f sujeita à restrição indicada. Em seguida, mostre que f não tem um valor mínimo sob tal restrição.
f(x, y, z)=4 x+2 y+z, x^2+y+z^2=1

Passo 1

O enunciado pede o valor máximo de
f(x,y,z)=4x+2y+z
sujeito à restrição
x^2+y+z^2=1
O método apropriado é o dos multiplicadores de Lagrange: introduzimos um parâmetro lambda e igualamos nabla f a lambdanabla g, onde
g(x,y,z)=x^2+y+z^2-1=0

Passo 2

Formamos a função de Lagrange
L(x,y,z,lambda)=4x+2y+z-lambdal(x^2+y+z^2-1r)
e escrevemos as condições de ótimo:
partialLpartial x=0, partialLpartial y=0, partialLpartial z=0, partialLpartial lambda=0
Isso dá o sistema
4-2lambda x=0, 2-lambda=0, 1-2lambda z=0, x^2+y+z^2-1=0

Passo 3

Da segunda equação obtém-se
Substituindo em vem
e em vem
Finalmente, na restrição
temos

Passo 4

Calculamos o valor de f neste ponto
fl(1,-tfrac116,tfrac14r) =4cdot1+2cdotl(-tfrac116r)+tfrac14 =4-tfrac18+tfrac14 =4+tfrac18 =tfrac338
Esse é o candidato a máximo.

Passo 5

Para ver que não há mínimo, resolvemos a restrição para y:
y=1-x^2-z^2
e substituímos em f, obtendo
f(x,z)=4x+2l(1-x^2-z^2r)+z =2+4x-2x^2-2z^2+z
Como os termos quadráticos são -2x^2-2z^2, para |(x,z)|toinfty temos f(x,z)to-infty. Logo não existe valor mínimo.

Resposta

O valor máximo de f sob a restrição é tfrac338, e não há valor mínimo.

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