Noa problemas abaixo, determine se o Teorema de Existência e Unicidade implica que dado PVI tem uma solução única.
Passo 1
O problema dá o PVI
e nos pede para verificar, pelo Teorema de Existência e Unicidade (Picard-Lindelöf), se há solução única. Para isso, definimos
e precisamos checar duas coisas numa vizinhança do ponto
: (i) se
é contínua em
e (ii) se é Lipschitz em
.
Passo 2
Como
é um polinômio em
, ele é contínuo em todo
. Pelo teorema, continuidade de
garante existência de pelo menos uma solução local passando por
.
Passo 3
Para verificar a condição de unicidade, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Como essa expressão também é contínua em todo
, em qualquer retângulo compacto contendo
teremos
para algum
L>0 . Isso mostra que
f satisfaz uma condição de Lipschitz em
y , garantindo unicidade da solução local.
Resposta
Sim, o Teorema de Existência e Unicidade implica que o PVI dado tem solução única.