Noa problemas abaixo, determine se o Teorema de Existência e Unicidade implica que dado PVI tem uma solução única.
d yd x=y^4-x^4, y(0)=7

Passo 1

O problema dá o PVI
dydx = y^4 - x^4, y(0)=7
e nos pede para verificar, pelo Teorema de Existência e Unicidade (Picard-Lindelöf), se há solução única. Para isso, definimos
f(x,y) = y^4 - x^4
e precisamos checar duas coisas numa vizinhança do ponto (x0,y0)=(0,7): (i) se f é contínua em (x,y) e (ii) se é Lipschitz em y.

Passo 2

Como f(x,y)=y^4-x^4 é um polinômio em (x,y), ele é contínuo em todo R^2. Pelo teorema, continuidade de f garante existência de pelo menos uma solução local passando por (0,7).

Passo 3

Para verificar a condição de unicidade, calculamos a derivada parcial de f em relação a y:
partial fpartial y(x,y) = 4,y^3
Como essa expressão também é contínua em todo R^2, em qualquer retângulo compacto contendo (0,7) teremos
l|4,y^3r|<= L
para algum L>0. Isso mostra que f satisfaz uma condição de Lipschitz em y, garantindo unicidade da solução local.

Resposta

Sim, o Teorema de Existência e Unicidade implica que o PVI dado tem solução única.

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