Determine os valores de r para os quais a função y(t) é solução da equação:
y(t)=\frac{r}{t^{2}+2} e y^{\prime}-t y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a função \,y(t)=\frac{r}{t^{2}+2}\, e pede para encontrar os valores de r tais que ela seja solução da equação diferencial
y' - t\,y = 0.
O conteúdo envolvido é derivação de uma razão e substituição na ODE para determinar a constante livre.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de
y(t)=\frac{r}{t^{2}+2}.
Usando a regra do quociente (ou produto com (t^2+2)^{-1}) obtemos
y' = -r\cdot\frac{2t}{(t^{2}+2)^{2}} = -\frac{2r\,t}{(t^{2}+2)^{2}}.

Passo 3

Substituindo y e y' na equação y' - t\,y=0, temos
-\frac{2r\,t}{(t^{2}+2)^{2}} \;-\;t\cdot\frac{r}{t^{2}+2} =0.
Colocando no mesmo denominador (t^{2}+2)^{2},
-\frac{2r\,t}{(t^{2}+2)^{2}} -\frac{r\,t\,(t^{2}+2)}{(t^{2}+2)^{2}} =\;-\frac{r\,t\,(t^{2}+2+2)}{(t^{2}+2)^{2}} =-\frac{r\,t\,(t^{2}+4)}{(t^{2}+2)^{2}} =0.

Passo 4

Para que essa expressão seja zero para todo t\in\mathbb{R}, o numerador deve se anular. Como t^{2}+4\neq0 sempre, resta
r\,t = 0\quad\forall\,t,
o que só ocorre se
r = 0.

Resposta

r = 0

Exercícios relacionados