Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
-4 x^{2}-y^{2}+z^{2}=0

Passo 1

O enunciado pede para usar cortes (seções em planos constantes) para esboçar e identificar a superfície dada por
-4x^{2}-y^{2}+z^{2}=0.
O conteúdo é superfícies quádricas e vamos precisar estudar as interseções desta equação com planos z=k, y=k e x=k.

Passo 2

Reescrevendo a equação, isolamos z^{2}:
z^{2} = 4x^{2} + y^{2}.
Isso sugere que, para cada z, o conjunto dos (x,y) satisfaz uma forma quadrática positiva, típica de elipses ou pontos.

Passo 3

Corte por planos horizontais z=k (com k\in\mathbb{R}):
k^{2} = 4x^{2} + y^{2}.
Para k\neq0 isso é uma elipse centrada na origem do plano z=k, cujos semi-eixos valem
a = \frac{|k|}{2}\quad\text{em }x,\qquad b = |k|\quad\text{em }y.
Para k=0 a equação vira 0 = 4x^{2}+y^{2}, que só admite (x,y)=(0,0): um ponto.

Passo 4

Corte por planos verticais y=k:
-4x^{2} - k^{2} + z^{2} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad z^{2} - 4x^{2} = k^{2}.
Para k\neq0 isso é uma hipérbole no plano y=k. Para k=0 ficamos com
z^{2} - 4x^{2} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad z = \pm 2x,
ou seja, duas retas de gera­trizes.

Passo 5

Corte por planos verticais x=k:
-4k^{2} - y^{2} + z^{2} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad z^{2} - y^{2} = 4k^{2}.
Para cada k\neq0 dá outra hipérbole no plano x=k, e para k=0 temos
z^{2} - y^{2} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad z = \pm y,
duas retas no plano x=0.

Passo 6

Dos cortes vemos que para cada altura z há elipses, e nos planos verticais há hipérboles que se degeneram em retas quando o corte passa pela origem. Isso caracteriza um cone duplo com vértice na origem e eixo ao longo de z.

Resposta

A superfície é um cone duplo de equação
z^{2} = 4x^{2} + y^{2},
com vértice em (0,0,0) e geratrizes dadas por z = \pm 2x (quando y=0) e z = \pm y (quando x=0).

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