Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
Passo 1
O enunciado pede para usar cortes (seções em planos constantes) para esboçar e identificar a superfície dada por
O conteúdo é superfícies quádricas e vamos precisar estudar as interseções desta equação com planos
,
e
.
Passo 2
Reescrevendo a equação, isolamos
:
Isso sugere que, para cada
, o conjunto dos
satisfaz uma forma quadrática positiva, típica de elipses ou pontos.
Passo 3
Corte por planos horizontais
(com
):
Para
isso é uma elipse centrada na origem do plano
, cujos semi-eixos valem
Para
a equação vira
, que só admite
: um ponto.
Passo 4
Corte por planos verticais
:
Para
isso é uma hipérbole no plano
. Para
ficamos com
ou seja, duas retas de geratrizes.
Passo 5
Corte por planos verticais
:
Para cada
dá outra hipérbole no plano
, e para
temos
duas retas no plano
.
Passo 6
Dos cortes vemos que para cada altura
há elipses, e nos planos verticais há hipérboles que se degeneram em retas quando o corte passa pela origem. Isso caracteriza um cone duplo com vértice na origem e eixo ao longo de
.
Resposta
A superfície é um cone duplo de equação
com vértice em
e geratrizes dadas por
(quando
) e
(quando
).