Sejam
. Mostre que
, com
satisfazendo
, é solução da equação
0.
Passo 1
O enunciado pede mostrar que
é solução da equação de Euler
desde que o expoente
satisfaça a equação característica
Para isso, vamos calcular as derivadas de
e substituí-las na ODE.
Passo 2
Calcular
e
usando a regra de potência:
Passo 3
Substituir na equação
Passo 4
Observar que
Logo a ODE reduz-se a
Para
, tem-se
, de modo que a igualdade só vale se
que é exatamente a condição dada.
Resposta
Como
satisfaz
, segue que
anula a equação
, ou seja, é solução.