Sejam a, b, c \in \mathbb{R}. Mostre que
y(x)=x^{r}, com r satisfazendo r^{2}+(b-1) r+ c=0, é solução da equação x^{2} y^{\prime \prime}+v x y^{\prime}+c y= 0.

Passo 1

O enunciado pede mostrar que y(x)=x^{r} é solução da equação de Euler
x^{2}y'' + b\,x\,y' + c\,y = 0
desde que o expoente r satisfaça a equação característica
r^{2} + (b-1)\,r + c = 0.
Para isso, vamos calcular as derivadas de y e substituí-las na ODE.

Passo 2

Calcular y' e y'' usando a regra de potência:
y(x) = x^{r}, \quad y'(x) = r\,x^{r-1}, \quad y''(x) = r(r-1)\,x^{r-2}.

Passo 3

Substituir na equação
x^{2}y'' + b\,x\,y' + c\,y = 0:
x^{2}\bigl[r(r-1)x^{r-2}\bigr] + b\,x\bigl[r\,x^{r-1}\bigr] + c\bigl[x^{r}\bigr] = \bigl[r(r-1) + b\,r + c\bigr]\,x^{r}.

Passo 4

Observar que
r(r-1) + b\,r + c = r^{2} - r + b\,r + c = r^{2} + (b-1)\,r + c.
Logo a ODE reduz-se a
\bigl[r^{2} + (b-1)\,r + c\bigr]\,x^{r} = 0.
Para x\neq 0, tem-se x^{r}\neq 0, de modo que a igualdade só vale se
r^{2} + (b-1)\,r + c = 0,
que é exatamente a condição dada.

Resposta

Como r satisfaz r^{2}+(b-1)r+c=0, segue que y(x)=x^{r} anula a equação x^{2}y'' + b\,x\,y' + c\,y = 0, ou seja, é solução.

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