Determine os valores de A para que as funções a seguir sejam funções densidade de probabilidade:
f(x)=l0, x<-1 ou x>3 A(x+1),-1 <= x <= 3

Passo 1

Resumindo o enunciado:
Temos a função
f(x)= 0, & x<-1 ou x>3, A(x+1), & -1<= x<=3
Para ser função densidade de probabilidade, precisamos que
  1. f(x)>=0 para todo x,
  2. integral-infty^inftyf(x),dx=1.

Passo 2

Verificamos a não negatividade: no intervalo [-1,3] temos x+1in[0,4], então A(x+1)>=0 exige
A>=0
Fora desse intervalo f(x)=0, logo não há outra restrição de sinal.

Passo 3

Agora calculamos a área total:
integral-infty^inftyf(x),dx =integral-1^3A(x+1),dx =Aintegral-1^3(x+1),dx
Usando
integral(x+1),dx=(x+1)^22,
temos
integral-1^3(x+1),dx =[(x+1)^22]-1^3 =(4)^22-0^22 =162=8
Logo
integral-1^3A(x+1),dx=8A

Passo 4

Para que a integral seja igual a 1, basta
8A=1 Longrightarrow A=18
Esse valor satisfaz também A>=0.

Resposta

A=tfrac18

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