Determine valores para h e k de modo que o sistema abaixo:
  • Não tenha solução;
  • Tenha uma única solução;
  • Tenha infinitas soluções.
    x-3 y & =1 2 x+h y & =k

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x - 3y = 1, 2x + hy = k,
queremos classificar o número de soluções usando a técnica do determinante da matriz dos coeficientes e o teste de consistência.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = 1 & -3 2 & h,
cujo determinante é
det(A) = 1 cdot h - 2 cdot (-3) = h + 6
Se det(A)neq 0, o sistema tem exatamente uma solução. Logo a condição para única solução é
h neq -6

Passo 3

Quando det(A)=0 temos h + 6 = 0, isto é
h = -6
Nesse caso as equações são proporcionais ou paralelas. Para saber se são coincidentes (infinitas soluções) ou inconsistentes (nenhuma solução), comparamos também os termos constantes.

Passo 4

Se h=-6, a segunda equação fica
2x - 6y = k,
que seria múltiplo da primeira (x - 3y = 1) com fator 2 apenas se
k = 2cdot 1 = 2
Portanto:
  • Se k = 2, as equações coincidem e há infinitas soluções.
  • Se k neq 2, as retas são paralelas distintas e não há solução.

Resposta

Não tenha solução: h = -6 e k neq 2
Tenha uma única solução: h neq -6 (qualquer k)
Tenha infinitas soluções: h = -6 e k = 2

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