Nos sistemas abaixo, determine o valor de k para que o sistema tenha:
(i) uma única solução;
(ii) infinitas soluções;
(iii) nenhuma solução.
x+2 y+z & =6 k x+y+z & =4 3 x+y+2 z & =9

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações lineares em x,y,z que depende do parâmetro k. Para estudar existência e unicidade de soluções, vamos usar o determinante da matriz dos coeficientes e, quando ele for zero, verificar compatibilidade pelo método de eliminação.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = 1 & 2 & 1 k & 1 & 1 3 & 1 & 2
Calculando o determinante por regra de Sarrus ou menores:
De<a = det(A) =1cdotdet1 & 1 1 & 2 -2cdotdetk & 1 3 & 2 +1cdotdetk & 1 3 & 1 = (2-1) -2(2k-3)+(k-3) =4-3k

Passo 3

Se De<aneq0, isto é, 4-3kneq0 ou kneq43, a matriz A é invertível e o sistema tem uma única solução (pelo teorema de Cramer).

Passo 4

Para k=tfrac43 temos De<a=0, então o sistema pode ter infinitas ou nenhuma solução. Vamos eliminar z:
  • Da eq. 1 - eq. 2: (x+2y+z) -l(tfrac43x+y+zr)=6-4 Rightarrow x-3y=-6
  • Da eq. 3 - 2times eq. 1: (3x+y+2z)-2(x+2y+z)=9-12 Rightarrow x-3y=-3
Como -6neq-3, há contradição e o sistema é incompatível (nenhuma solução).

Passo 5

Não surge nenhuma situação de infinitas soluções, pois o único valor que anula De<a gera inconsistência.

Resposta

(i) kneq43
(ii) Não existe valor de k para infinitas soluções
(iii) k=43

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