Determine os valores inicial e final de x(t), F(s) e G(s):
x(t)=t u(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos os valores inicial e final de x(t) , F(s) e G(s) , onde x(t) = t cdot u(t) . Aqui, estamos lidando com transformadas de Laplace e os teoremas de valor inicial e final. Vamos precisar entender o que são esses teoremas e como aplicar a transformada de Laplace para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa x(t) = t cdot u(t) . Aqui, u(t) é a função degrau de Heaviside, que é 0 para t < 0 e 1 para t >= 0 . Então, x(t) = t para t >= 0 .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores inicial e final de x(t) .
  • Valor Inicial: É o valor de x(t) quando t se aproxima de 0. Matemáticamente, é limt to 0^+ x(t) .
    limt to 0^+ t = 0
  • Valor Final: É o limite de x(t) quando t tende ao infinito, ou seja, limt to infty x(t) .
    limt to infty t = infty

Passo 4

Vamos agora encontrar a transformada de Laplace de x(t) , que chamaremos de F(s) . A transformada de Laplace de t é uma fórmula padrão:
F(s) = Lt = 1s^2

Passo 5

Com F(s) = 1s^2 , vamos determinar os valores inicial e final de F(s) .
  • Valor Inicial de F(s) : Isso equivale ao limite de F(s) quando s tende ao infinito.
    lims to infty 1s^2 = 0
  • Valor Final de F(s) : É o limite de F(s) quando s tende a zero.
    lims to 0 1s^2 = infty

Passo 6

Finalmente, vamos considerar G(s) . Sem uma definição específica no enunciado, geralmente G(s) pode ser relacionada como derivada ou outra função ligada à transformada de F(s) . Porém, se assumirmos que G(s) é a transformada de outra função relacionada a x(t) , precisamos de mais contexto. Mas, para fins deste exercício, vamos supor que G(s) seja s cdot F(s) :
G(s) = s cdot 1s^2 = 1s
Então, os valores inicial e final de G(s) são:
  • Valor Inicial de G(s) :
    lims to infty 1s = 0
  • Valor Final de G(s) :
    lims to 0 1s = infty

Resposta

Os valores iniciais e finais são:
  • x(t)
    • Inicial: 0
    • Final: infty
  • F(s)
    • Inicial: 0
    • Final: infty
  • G(s)
    • Inicial: 0
    • Final: infty

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