Reescreva a integral dupla em uma única integral. Esboce a região completa de integração e inverta a ordem da mesma.
Passo 1
O enunciado nos dá a soma de duas integrais iteradas
e pede (i) escrever isso como uma única integral dupla sobre a região
, (ii) esboçar
e (iii) inverter a ordem de integração. O conteúdo é descrição de região de integração em
e troca da ordem de integração.
Passo 2
Observe que em ambos os casos a abscissa superior é
. A abscissa inferior é
Logo podemos reunir as duas integrais em
Passo 3
Para esboçar a região
:
– O ramo da parábola tem
.
– A reta pode ser escrita como
.
– Para a região fica entre
e
.
– Para fica entre a reta
(ou
) e
.
Essas curvas se intersectam em e
. O esboço mostra a parábola abrindo para cima e a reta inclinada cruzando a parábola nesses dois pontos, e
é a “tira” entre elas.
– O ramo da parábola
– A reta
– Para
– Para
Essas curvas se intersectam em
Passo 4
Para inverter a ordem, percebemos que
é também
De fato, a parábola
e a reta
se cruzam em
e
, e entre esses valores de
a reta fica sempre acima da parábola, cobrindo todo o
.
Passo 5
Na ordem invertida integramos primeiro em
e depois em
, com
variando de
a
e
de
até
. Assim a integral fica