Reescreva a integral dupla em uma única integral. Esboce a região completa de integração e inverta a ordem da mesma.
integral0^1 integral-raizy^raizy f(x, y) d x d y+integral1^4 integraly-2^raizy f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado nos dá a soma de duas integrais iteradas
integral0^1integral-raizy^raizyf(x,y),dx,dy ;+; integral1^4integraly-2^raizyf(x,y),dx,dy
e pede (i) escrever isso como uma única integral dupla sobre a região R, (ii) esboçar R e (iii) inverter a ordem de integração. O conteúdo é descrição de região de integração em (x,y) e troca da ordem de integração.

Passo 2

Observe que em ambos os casos a abscissa superior é x=raizy. A abscissa inferior é
x= -raizy,&0<= y<=1, y-2,&1<y<=4
Logo podemos reunir as duas integrais em
integral0^4;integralalpha(y)^raizyf(x,y),dx,dy onde alpha(y)= -raizy,&0<= y<=1, y-2,&1<y<=4

Passo 3

Para esboçar a região R:
– O ramo da parábola y=x^2 tem x=pmraizy.
– A reta x=y-2 pode ser escrita como y=x+2.
– Para 0<= y<=1 a região fica entre x=-raizy e x=raizy.
– Para 1<= y<=4 fica entre a reta x=y-2 (ou y=x+2) e x=raizy.
Essas curvas se intersectam em (-1,1) e (2,4). O esboço mostra a parábola abrindo para cima e a reta inclinada cruzando a parábola nesses dois pontos, e R é a “tira” entre elas.

Passo 4

Para inverter a ordem, percebemos que R é também
R=(x,y)mid -1<= x<=2,;x^2<= y<= x+2
De fato, a parábola y=x^2 e a reta y=x+2 se cruzam em x=-1 e x=2, e entre esses valores de x a reta fica sempre acima da parábola, cobrindo todo o R.

Passo 5

Na ordem invertida integramos primeiro em y e depois em x, com x variando de -1 a 2 e y de x^2 até x+2. Assim a integral fica
integralx=-1^2;integraly=x^2^,x+2f(x,y),dy,dx

Resposta

integral-1^2integralx^2^x+2f(x,y),dy,dx

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