Determine os valores inicial e final de x(t), F(s) e G(s):
F(s)=10(s+3)s(s^2+2 s+5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar os valores inicial e final de x(t) , F(s) e G(s) , dado que:
F(s) = 10(s + 3)s(s^2 + 2s + 5)
Vamos usar os teoremas de valor inicial e valor final para resolver isso. Esses teoremas nos ajudam a descobrir o comportamento da função x(t) quando t se aproxima de 0 (inicial) e quando t vai para o infinito (final), sem precisar fazer a transformada inversa de Laplace completa.

Passo 2

Teorema do Valor Inicial
O valor inicial de uma função x(t) , que representa o valor de x(t) quando t está muito próximo de 0, pode ser encontrado usando o teorema do valor inicial. A fórmula é:
x(0^+) = lims to infty [s cdot X(s)]
Onde X(s) é a transformada de Laplace de x(t) . No nosso caso, X(s) = F(s) .
Então, vamos calcular:
x(0^+) = lims to infty [ s cdot 10(s + 3)s(s^2 + 2s + 5) ] = lims to infty 10(s + 3)s^2 + 2s + 5
Simplificando:
x(0^+) = lims to infty 10s + 30s^2 + 2s + 5
Dividindo numerador e denominador por s^2 :
x(0^+) = lims to infty 10s + 30s^21 + 2s + 5s^2 = 0 + 01 + 0 + 0 = 0
Valor Inicial de F(s)
Usando a mesma lógica:
Valor inicial de F(s) = lims to infty [F(s)]
Substituindo F(s) :
lims to infty 10(s + 3)s(s^2 + 2s + 5) = lims to infty 10s + 30s^3 + 2s^2 + 5s = 0
Valor Inicial de G(s)
Sem uma expressão específica para G(s) , assumiremos que G(s) está relacionado a F(s) . Se F(s) for a transformada de G(s) , então:
G(t) = L^-1F(s)
E seu valor inicial também será 0, seguindo a mesma lógica.

Passo 3

Teorema do Valor Final
O valor final de x(t) , que representa o comportamento de x(t) quando t vai para o infinito, pode ser encontrado usando o teorema do valor final:
x(infty) = lims to 0 [s cdot X(s)]
Vamos calcular para X(s) = F(s) :
x(infty) = lims to 0 [ s cdot 10(s + 3)s(s^2 + 2s + 5) ] = lims to 0 10(s + 3)s^2 + 2s + 5
Substituindo s = 0 :
x(infty) = 10(0 + 3)0 + 0 + 5 = 305 = 6
Valor Final de F(s)
lims to 0 F(s) = lims to 0 10(s + 3)s(s^2 + 2s + 5)
Substituindo s = 0 :
lims to 0 10(0 + 3)0(0 + 0 + 5) = 300
Isso tende ao infinito, ou seja, não há valor final finito para F(s) .
Valor Final de G(s)
Novamente, sem uma expressão específica para G(s) , se seguirmos a relação com F(s) , o valor final de G(t) dependerá da sua definição específica. Se G(t) for a resposta a um degrau unitário, por exemplo, então o valor final seria 6, assim como x(infty) .

Resposta

Os valores iniciais e finais são:
  • x(0^+) = 0
  • F(0^+) = 0
  • G(0^+) = 0
  • x(infty) = 6
  • F(infty) = 0
  • G(infty) = 6

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