Determine os valores inicial e final de
,
e
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar os valores inicial e final de
,
e
, dado que:
Vamos usar os teoremas de valor inicial e valor final para resolver isso. Esses teoremas nos ajudam a descobrir o comportamento da função
quando
se aproxima de 0 (inicial) e quando
vai para o infinito (final), sem precisar fazer a transformada inversa de Laplace completa.
Passo 2
Teorema do Valor Inicial
O valor inicial de uma função
, que representa o valor de
quando
está muito próximo de 0, pode ser encontrado usando o teorema do valor inicial. A fórmula é:
Onde
é a transformada de Laplace de
. No nosso caso,
.
Então, vamos calcular:
Simplificando:
Dividindo numerador e denominador por
:
Valor Inicial de
Usando a mesma lógica:
Substituindo
:
Valor Inicial de
Sem uma expressão específica para
, assumiremos que
está relacionado a
. Se
for a transformada de
, então:
E seu valor inicial também será 0, seguindo a mesma lógica.
Passo 3
Teorema do Valor Final
O valor final de
, que representa o comportamento de
quando
vai para o infinito, pode ser encontrado usando o teorema do valor final:
Vamos calcular para
:
Substituindo
:
Valor Final de
Substituindo
:
Isso tende ao infinito, ou seja, não há valor final finito para
.
Valor Final de
Novamente, sem uma expressão específica para
, se seguirmos a relação com
, o valor final de
dependerá da sua definição específica. Se
for a resposta a um degrau unitário, por exemplo, então o valor final seria 6, assim como
.
Resposta
Os valores iniciais e finais são: