Determine os valores de k de forma que os sistemas homogêneos abaixo tenham infinitas soluções:
l(3-k) x+2 y=0 4 x+(1-k) y=0)

Passo 1

O enunciado pede os valores de
tenha infinitas soluções.
Conteúdo: sistemas lineares homogêneos. Para um sistema homogêneo (2\times2] ter infinitas soluções, basta que as duas equações sejam proporcionais, isto é, que o determinante da matriz de coeficientes seja zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e impomos a condição
det 3-k & 2 [6pt] 4 & 1-k =0 ]

Passo 3

Calculando o determinante:
(3-k)(1-k) - 4cdot 2 = 0 Longrightarrow (3-k)(1-k) - 8 = 0

Passo 4

Expandindo e reorganizando:
(3-k)(1-k) - 8 = k^2 -4k +3 -8 = k^2 -4k -5 = 0
Isso é uma equação quadrática em k.

Passo 5

Resolvendo k^2 -4k -5 = 0 pela fórmula de Bhaskara:
k = 4 pm raiz(-4)^2 -4cdot1cdot(-5)2 = 4 pm raiz16 +202 = 4 pm 62,
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k = 5 ou k = -1

Resposta

Os valores de k que fazem o sistema ter infinitas soluções são
k = 5 e k = -1

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