Determine os valores de k de forma que os sistemas homogêneos abaixo tenham infinitas soluções:
l(1-k) x+2 y+z=0 (3-k) y+z=0 5 y+(-1-k) z=0)

Passo 1

O exercício pede para encontrar os valores de k para que o sistema homogêneo de três equações e três incógnitas tenha infinitas soluções. O conteúdo envolvido é teoria de sistemas lineares homogêneos e determinante de matriz quadrada: sabemos que, em um sistema homogêneo Ax=0 com matriz quadrada A, existe solução não trivial (e portanto infinitas soluções) se e somente se det(A)=0.

Passo 2

Vamos montar a matriz de coeficientes A associada ao sistema:

Passo 3

A matriz é

Passo 4

A=1-k & 2 & 10 & 3-k & 10 & 5 & -1-k

Passo 5

Precisamos calcular det(A). Como os elementos da primeira coluna abaixo de 1-k são zero, podemos expandir pela primeira coluna:

Passo 6

det(A)=(1-k)det3-k & 15 & -1-k

Passo 7

O determinante do menor é

Passo 8

det3-k & 15 & -1-k=(3-k)(-1-k)-5cdot1=-(3-k)(1+k)-5=k^2-2k-8

Passo 9

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Passo 10

det(A)=(1-k)(k^2-2k-8)

Passo 11

Para ter infinitas soluções, impomos

Passo 12

(1-k)(k^2-2k-8)=0

Passo 13

Resolvendo cada fator:

Passo 14

1-k=0implies k=1,

Passo 15

k^2-2k-8=0implies k=4 ou k=-2

Passo 16

Como para k=1,4,-2 temos det(A)=0 e, portanto, posto de A menor que 3, o sistema homogêneo admite infinitas soluções.

Resposta

k\in{1,4,-2}

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