Resolva as seguintes equações diferenciais de Euler.
t^2 y^prime prime(t)-6 t y^prime(t)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Euler
t^2y''(t)-6t,y'(t)=0
Esse tipo de equação é dita “equi-dimensional” ou “de Euler” e se resolve supondo uma solução do tipo y(t)=t^m.

Passo 2

Suponha
y(t)=t^m
Então
y'(t)=m,t^m-1, y''(t)=m(m-1),t^m-2

Passo 3

Substituindo na equação original:
t^2l[m(m-1),t^m-2r]-6tl[m,t^m-1r]=0
simplifica para
l[m(m-1)-6mr],t^m=0
Como t^mneq0 (para t>0), segue a equação característica
m(m-1)-6m=0

Passo 4

Resolvendo a característica:
m(m-1)-6m=m^2-7m=0 Longrightarrow m(m-7)=0
portanto as raízes são
m1=0, m2=7

Passo 5

A solução geral da equação de Euler é
y(t)=C1,t^m1+C2,t^m2 =C1,t^0+C2,t^7 =C1+C2,t^7,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C1+C2,t^7

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