Verifique se as funções fornecidas são soluções das seguintes equações diferenciais:
y=e^{2 x} para y^{\prime}=2 y

Passo 1

O enunciado quer verificar se a função \,y=e^{2x} satisfaz a equação diferencial de primeira ordem
y' = 2y.
Para isso, vamos calcular y' a partir de y=e^{2x} e comparar com 2y.

Passo 2

Usando a regra da cadeia, o derivado de \,y=e^{2x} é
y'=\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr)=2\,e^{2x}.

Passo 3

Agora calculamos o lado direito da ODE com a mesma y:
2y = 2\bigl(e^{2x}\bigr)=2\,e^{2x}.
Como obtivemos y'=2e^{2x} e 2y=2e^{2x}, os dois lados coincidem para todo x. Logo, \,y=e^{2x} satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Sim. A função y=e^{2x} é solução da equação diferencial y' = 2y.

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