Verifique se as funções fornecidas são soluções das seguintes equações diferenciais:
y(x)=e^{-x} para y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função \,y(x)=e^{-x}\, é solução da equação diferencial de primeira ordem
y' + y = 0.
Para isso, vamos calcular a derivada \,y'\, de \,y(x)\, e depois substituir na equação para checar se o resultado é zero.

Passo 2

Como \,y(x)=e^{-x}\,, aplicamos a regra da cadeia para derivar:
y' = \frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr) = -\,e^{-x}.

Passo 3

Substituindo \,y'\, e \,y\, na equação \,y'+y=0:
y' + y = \bigl(-e^{-x}\bigr) + e^{-x} = 0.
Como a soma dá exatamente zero para todo x, a igualdade fica satisfeita.

Resposta

Sim. A função \,y(x)=e^{-x}\, satisfaz a equação diferencial \,y' + y = 0.

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