Seja operatorname{det} A=\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right]=10 .Calcule,usando as propriedades dos determinantes:
\left|\begin{array}{rrr}2 a & 2 b & 2 c \\\ g & h & i \\\ d & e & f\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A = \begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix} \quad\text{com}\quad \det A = 10
e
M = \begin{pmatrix} 2a & 2b & 2c\\\ g & h & i \\\ d & e & f \end{pmatrix}.
O conteúdo é propriedades de determinantes: multiplicação de linha por escalar e troca de linhas.

Passo 2

Para obter M a partir de A fazemos duas operações sobre as linhas de A:
  1. Multiplicamos a primeira linha por 2.
  2. Trocamos a segunda linha com a terceira.

Passo 3

Cada operação afeta \det de forma conhecida:
  • Multiplicar uma linha por 2 multiplica o determinante por 2.
  • Trocar duas linhas muda o sinal do determinante (multiplica por -1).
    Assim, o fator total é (-1)\times2 = -2.

Passo 4

Como \det M = (-2)\,\det A, temos
\det M = (-2)\times10 = -20.

Resposta

-20

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