Mostrar que é sub-espaço de \mathbf{M}_{\mathbf{2}} (IR) o seguinte sab-conjunto:
W=\left\{\left(\begin{array}{ll} x & y \\\ z & t \end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}), y=-x\right\}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o subconjunto W\subset M_2(\mathbb{R}), definido por
W=\left\{\begin{pmatrix}x&y\z&t\end{pmatrix}\in M_2(\mathbb{R})\;\big|\;y=-x\right\},
é um subespaço. Para isso, vamos verificar três propriedades:
  1. W não é vazio (contém a matriz nula).
  2. W é fechado sob adição.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificar que a matriz nula está em W. A matriz nula é
0=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Aqui temos x=0 e y=0, e a condição y=-x fica 0=-0, que é verdadeira. Logo
0\in W.

Passo 3

Fecho sob adição. Tomemos
A=\begin{pmatrix}x_1&y_1\z_1&t_1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}x_2&y_2\z_2&t_2\end{pmatrix}
em W. Então y_1=-x_1 e y_2=-x_2. A soma é
A+B=\begin{pmatrix}x_1+x_2 & y_1+y_2 \\\ z_1+z_2 & t_1+t_2\end{pmatrix}.
O elemento (1,2) vale
y_1+y_2 = -x_1 + (-x_2) = -(x_1+x_2),
portanto a soma também satisfaz a condição y= -x, ou seja A+B\in W.

Passo 4

Fecho sob multiplicação escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e
A=\begin{pmatrix}x&y\z&t\end{pmatrix}\in W,
isto é, y=-x. Então
\lambda A = \begin{pmatrix}\lambda x & \lambda y \\\ \lambda z & \lambda t\end{pmatrix}.
O elemento (1,2) de \lambda A é
\lambda y = \lambda(-x) = -(\lambda x),
logo \lambda A também satisfaz y=-x, ou seja \lambda A\in W.

Resposta

W é um subespaço de M_2(\mathbb{R}).

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