Determine os valores de k para que a matriz
[ccc 1 & 0 & -1 k & 1 & 3 1 & k & 3 ]
não seja inversível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente descobrir quais valores de k fazem a matriz dada não ser inversível. Isso significa que a gente precisa entender quando uma matriz não tem inversa. Para isso, vamos usar um conceito de álgebra linear chamado determinante. Se o determinante de uma matriz for zero, ela não tem inversa. Então, vamos calcular o determinante dessa matriz e ver para quais valores de k ele é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que a gente tem:
A = [ccc 1 & 0 & -1 k & 1 & 3 1 & k & 3 ]
Precisamos calcular o determinante dessa matriz A .

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 3 times 3 , a gente pode usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a expansão por cofatores para ficar mais claro.
O determinante de A é dado por:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
Substituindo os valores de A :
det(A) = 1 times (1 times 3 - 3 times k) - 0 times (k times 3 - 3 times 1) + (-1) times (k times k - 1 times 1)

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão:
  1. Primeiro termo:
1 times (1 times 3 - 3 times k) = 1 times (3 - 3k) = 3 - 3k
  1. Segundo termo:
-0 times (qualquer coisa) = 0
  1. Terceiro termo:
-1 times (k times k - 1 times 1) = -1 times (k^2 - 1) = -k^2 + 1
Então, somando tudo:
det(A) = (3 - 3k) + 0 + (-k^2 + 1) = -k^2 - 3k + 4

Passo 5

Agora que temos o determinante em termos de k :
det(A) = -k^2 - 3k + 4
Queremos que a matriz não seja inversível, ou seja, que o determinante seja igual a zero:
-k^2 - 3k + 4 = 0
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver para achar os valores de k .

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática:
-k^2 - 3k + 4 = 0
Primeiro, podemos multiplicar todos os termos por -1 para facilitar:
k^2 + 3k - 4 = 0
Agora, vamos achar as raízes dessa equação usando a fórmula de Bhaskara:
k = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1 , b = 3 e c = -4 .

Passo 7

Calculando o discriminante ( De<a ):
De<a = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 times 1 times (-4) = 9 + 16 = 25
Como De<a > 0 , temos duas soluções reais:
k = -3 pm raiz252 times 1 = -3 pm 52
Então:
  1. k = -3 + 52 = 22 = 1
  2. k = -3 - 52 = -82 = -4

Resposta

Os valores de k que fazem a matriz não ser inversível são k = 1 e k = -4 .

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