Use o método do Exemplo 5 para calcular
, sendo
Passo 1
O enunciado pede para calcular
A^11 para a matriz
usando o método de diagonalização (Exemplo 5). Vamos precisar achar os autovalores de
A , os autovetores correspondentes, montar
P e
D tais que
A = P,D,P^-1 , e então usar
Passo 2
Calcular o polinômio característico de
A :
Logo
de onde os autovalores são
Passo 3
Encontrar um autovetor para cada autovalor:
– Para
lambda1=-1 , resolvemos
(A+I)v=0 , obtendo
v1=(1,0,0)^T .
– Paralambda2=1 , resolvemos
(A-I)v=0 , obtendo
v2=(1,1,5)^T .
– Paralambda3=-2 , resolvemos
(A+2I)v=0 , obtendo
v3=(1,0,1)^T .
– Para
– Para
Passo 4
Montar as matrizes
P e
D :
Passo 5
Calcular
P^-1 por eliminação de Gauss, encontrando
Passo 6
Elevar
D à 11-ésima potência:
Então
Passo 7
Fazendo as multiplicações, primeiro
e em seguida