Use o método do Exemplo 5 para calcular A^11, sendo
A=[rrr -1 & 7 & -1 0 & 1 & 0 0 & 15 & -2 ]

Passo 1

O enunciado pede para calcular A^11 para a matriz
A = -1 & 7 & -1 0 & 1 & 0 0 & 15 & -2
usando o método de diagonalização (Exemplo 5). Vamos precisar achar os autovalores de A, os autovetores correspondentes, montar P e D tais que A = P,D,P^-1, e então usar
A^11 = P,D^11,P^-1

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) = det -1-lambda & 7 & -1 0 & 1-lambda & 0 0 & 15 & -2-lambda = (-1-lambda)l((1-lambda)(-2-lambda)r)
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det(A-lambda I)= -(lambda+1)(lambda^2+lambda-2) = -(lambda+1)(lambda-1)(lambda+2),
de onde os autovalores são
lambda1 = -1, lambda2 = 1, lambda3 = -2

Passo 3

Encontrar um autovetor para cada autovalor:
– Para lambda1=-1, resolvemos (A+I)v=0, obtendo v1=(1,0,0)^T.
– Para lambda2=1, resolvemos (A-I)v=0, obtendo v2=(1,1,5)^T.
– Para lambda3=-2, resolvemos (A+2I)v=0, obtendo v3=(1,0,1)^T.

Passo 4

Montar as matrizes P e D:
P = l[v1;v2;v3r] = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 0 & 5 & 1 , D = diag(-1,,1,,-2)

Passo 5

Calcular P^-1 por eliminação de Gauss, encontrando
P^-1 = 1 & 4 & -1 0 & 1 & 0 0 & -5 & 1

Passo 6

Elevar D à 11-ésima potência:
D^11 = diagl((-1)^11,,1^11,,(-2)^11r) = diagl(-1,,1,,-2048r)
Então
A^11 = P,D^11,P^-1

Passo 7

Fazendo as multiplicações, primeiro
P,D^11 = -1 & 1 & -2048 0 & 1 & 0 0 & 5 & -2048 ,
e em seguida
A^11 = -1 & 1 & -2048 0 & 1 & 0 0 & 5 & -2048 1 & 4 & -1 0 & 1 & 0 0 & -5 & 1 = -1 & 10237 & -2047 0 & 1 & 0 0 & 10245 & -2048

Resposta

A^11 = -1 & 10237 & -2047 0 & 1 & 0 0 & 10245 & -2048

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