Seja
A=[lll 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 1 & 0 & 4 ]
Encontre os autovalores de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 1 & 0 & 4
e pede os autovalores de A. Para isso vamos montar o polinômio característico
det(A - lambda I)=0
e resolver em lambda.

Passo 2

Formamos
A - lambda I = 4-lambda & 0 & 1 2 & 3-lambda & 2 1 & 0 & 4-lambda
e escrevemos
det(A - lambda I) =(4-lambda)det3-lambda & 2 0 & 4-lambda -0 +1cdotdet2 & 3-lambda 1 & 0

Passo 3

Calculando cada determinante interno:
det3-lambda & 20 & 4-lambda =(3-lambda)(4-lambda), det2 & 3-lambda1 & 0 =2cdot 0 - (3-lambda)cdot1 = -(3-lambda)
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det(A - lambda I) =(4-lambda)(3-lambda)(4-lambda);-;(3-lambda)

Passo 4

Fatoramos
det(A - lambda I) =(3-lambda)l[(4-lambda)^2 - 1r] =(3-lambda)l[(4-lambda)-1r]l[(4-lambda)+1r] =(3-lambda)(3-lambda)(5-lambda)
Assim o polinômio característico é, até sinal, (lambda-3)^2(lambda-5) e as raízes são
lambda=3 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=5.

Resposta

Os autovalores de A são
lambda1=3 (duas vezes) e lambda2=5.

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