Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.
f(x, y)=x^2+y^2-x^2 y-4, D=(x, y)| | x|<= 1,|y| <= 1

Passo 1

A questão pede pra gente encontrar os valores máximos e mínimos absolutos de f(x,y)=x²+y²−x²y−4 no quadrado D={[−1,1]×[−1,1]}. O conteúdo aqui é otimização de função de duas variáveis num conjunto fechado: vamos achar pontos críticos no interior (gradiente zero) e depois examinar as quinas e as arestas do quadrado.

Passo 2

Pra achar pontos críticos, calculamos as derivadas parciais. Temos
partial fpartial x=2x−2xy=2x(1−y),
partial fpartial y=2y−x² ²
Igualando ambas a zero, vemos que ou x=0 ou y=1, e simultaneamente y=x²/2. A única solução dentro do quadrado é x=0, y=0.

Passo 3

Avaliando f no ponto crítico (0,0):
f(0,0)=0+0−0−4=−4
Esse é um candidato a mínimo.

Passo 4

Agora analisamos as arestas. Primeiro, x=1 (e por simetria x=−1 dá a mesma): f(1,y)=1+y²−y−4=y²−y−3 para y∈[−1,1]. Derivando em y, 2y−1=0⇒y=1/2. Avaliamos em y=1/2, y=−1 e y=1:
f(1,1/2)=−13/4; f(1,−1)=−1; f(1,1)=−3. Assim nessa aresta o mínimo é −13/4≈−3,25 e o máximo é −1.

Passo 5

Na aresta y=1: f(x,1)=x²+1−x²−4=−3 (constante). Então ali f=−3, sem extremos novos. Na aresta y=−1: f(x,−1)=x²+1+x²−4=2x²−3 para x∈[−1,1], que tem mínimo em x=0 dando −3, e máximo em x=±1 dando −1.

Passo 6

Reunindo: o menor valor encontrado foi f(0,0)=−4, que é o mínimo absoluto; o maior valor foi −1, que ocorre em (1,−1) e em (−1,−1).

Passo 7

Concluímos que o mínimo absoluto de f em D é −4 no ponto (0,0) e o máximo absoluto é −1 nos pontos (1,−1) e (−1,−1).

Resposta

Mínimo absoluto: −4 em (0,0); Máximo absoluto: −1 em (1,−1) e (−1,−1).

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