Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de
e classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos usar derivadas parciais para obter os pontos críticos e o Hessiano para a classificação.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Para pontos críticos, resolvemos
Como
e
, segue
. Substituindo em
, qualquer
satisfaz
. Logo, o conjunto de pontos críticos é
Passo 3
Para classificar, avaliamos as segundas derivadas em
:
O Hessiano vale
cujos autovalores são
e
. Esse teste mostra que em cada
há direções planas (autovalor zero) e direção de curvatura positiva.]
Passo 4
Para ver se são mínimos ou pontos de sela, analisamos
perto de
. Se fixarmos
e
pequeno,
enquanto
. Logo, em qualquer vizinhança de
,
e atinge valor zero na própria reta
. Não há direções em que
decresça abaixo de
. Portanto cada
é um mínimo local degenerado (não isolado).
Resposta
Os pontos críticos são todos os
. Cada um deles é um mínimo local degenerado com valor
. Não existem máximos locais nem pontos de sela.