Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
f(x, y)=(x^2+y^2) e y^2-x^2

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de
f(x,y) = (x^2+y^2),e^y^2 - x^2
e classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos usar derivadas parciais para obter os pontos críticos e o Hessiano para a classificação.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
fx(x,y) = partialpartial xl[(x^2+y^2)e^y^2 - x^2r] = 2x,e^y^2 - 2x = 2xl(e^y^2 - 1r),
fy(x,y) = partialpartial yl[(x^2+y^2)e^y^2 - x^2r] = 2y,e^y^2 + (x^2+y^2)cdot 2y,e^y^2 = 2y,e^y^2l(x^2+y^2+1r)
Para pontos críticos, resolvemos
fx=0 ,Longrightarrow, 2xl(e^y^2-1r)=0 e fy=0 ,Longrightarrow, 2y,e^y^2l(x^2+y^2+1r)=0
Como e^y^2>0 e x^2+y^2+1>0, segue fy=0iff y=0. Substituindo em fx=0, qualquer x satisfaz e^0-1=0. Logo, o conjunto de pontos críticos é
(x,0)mid xinR

Passo 3

Para classificar, avaliamos as segundas derivadas em (x,0):
fxx(x,0) = 2l(e^0-1r)=0, fxy(x,0) = 4xcdot 0;e^0=0,
fyy(x,0) = 2l(x^2+1r),
O Hessiano vale
H(x,0)= 0 & 0[6pt] 0 & 2(x^2+1)
cujos autovalores são 0 e 2(x^2+1)>0. Esse teste mostra que em cada (x,0) há direções planas (autovalor zero) e direção de curvatura positiva.]

Passo 4

Para ver se são mínimos ou pontos de sela, analisamos f perto de (x,0). Se fixarmos x e y pequeno,
f(x,y) = x^2(e^y^2-1) + y^2e^y^2 approx x^2,y^2 + y^2 >0,
enquanto f(x,0)=0. Logo, em qualquer vizinhança de (x,0), f(x,y)>= 0 e atinge valor zero na própria reta y=0. Não há direções em que f decresça abaixo de 0. Portanto cada (x,0) é um mínimo local degenerado (não isolado).

Resposta

Os pontos críticos são todos os (x,0). Cada um deles é um mínimo local degenerado com valor f(x,0)=0. Não existem máximos locais nem pontos de sela.

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