Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D :
f(x, y)=x^2+y^2+x^2 y+4, onde D=(x, y):|x| <= 1,|y| <= 4.

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente encontrar o valor máximo e mínimo absolutos de
f(x,y)=x^2+y^2+x^2y+4
num retângulo bem comportado:
D=(x,y):|x|<=1,;|y|<=4
Isso é um exercício de extremos em funções de duas variáveis:
  1. a gente vai primeiro achar pontos críticos no interior de D (derivadas parciais = 0),
  2. depois examinar as bordas (x=±1 e y=±4) e os cantos.
    Então vamos precisar saber derivadas parciais, resolver sistemas simples e comparar valores.

Passo 2

Calcula as derivadas parciais e vê onde elas se anulam dentro de D:
fx= partial fpartial x=2x+2xy=2x(1+y),
fy= partial fpartial y=2y+x^2
Para ponto crítico interno a gente faz
2x(1+y)=0, 2y+x^2=0
Da primeira equação vem ou
  1. x=0, ou
  2. y=-1.
  • Se x=0, na segunda: 2y+0=0implies y=0. Isso é o ponto (0,0), que está dentro de D.
  • Se y=-1, na segunda: 2(-1)+x^2=0implies x^2=2, mas |x|<=1 não comporta raiz2>1. Então o único ponto crítico interno é
    (0,0) com
f(0,0)=0+0+0+4=4

Passo 3

Agora borda x=1 (e, por simetria, x=-1 dá o mesmo tipo de função em y):
Define
g(y)=f(1,y)=1+y^2+1cdot y+4=y^2+y+5, yin[-4,4]
A derivada é
g'(y)=2y+1Longrightarrow; y=-tfrac12in[-4,4]
Avalia em y=-tfrac12 e nos extremos y=±4:
  • g(-tfrac12)=tfrac14-tfrac12+5=4,75,
  • g(4)=16+4+5=25,
  • g(-4)=16-4+5=17
    Então, em x=±1 temos candidatos 4,75; 17; 25.

Passo 4

Agora borda y=4 e y=-4, variando x em [-1,1]:
  1. y=4:
h1(x)=f(x,4)=x^2+16+4x^2+4=5x^2+20
É uma parábola com mínimo em x=0:
  • h1(0)=20,
  • h1(±1)=5+20=25
  1. y=-4:
h2(x)=f(x,-4)=x^2+16-4x^2+4=-3x^2+20
Parábola invertida, máximo em x=0 e mínimos em x=±1:
  • h2(0)=20,
  • h2(±1)=-3+20=17

Passo 5

Reunindo tudo:
  • Interior: em (0,0) vale 4.
  • Borda x=±1: vale 4,75,;17,;25.
  • Borda y=4: vale 20,;25.
  • Borda y=-4: vale 20,;17.
O menor de todos é 4 em (0,0).
O maior de todos é 25, que ocorre em (x,y)=(pm1,4).

Resposta

Mínimo absoluto: f(0,0)=4.
Máximo absoluto: f(pm1,4)=25.

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