Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
:
, onde
.
Passo 1
Beleza, o problema pede pra gente encontrar o valor máximo e mínimo absolutos de
num retângulo bem comportado:
Isso é um exercício de extremos em funções de duas variáveis:
- a gente vai primeiro achar pontos críticos no interior de D (derivadas parciais = 0),
- depois examinar as bordas (x=±1 e y=±4) e os cantos.
Então vamos precisar saber derivadas parciais, resolver sistemas simples e comparar valores.
Passo 2
Calcula as derivadas parciais e vê onde elas se anulam dentro de D:
Para ponto crítico interno a gente faz
Da primeira equação vem ou
Da primeira equação vem ou
- x=0, ou
- y=-1.
- Se x=0, na segunda:
. Isso é o ponto , que está dentro de D. - Se y=-1, na segunda:
, mas não comporta . Então o único ponto crítico interno é
com
Passo 3
Agora borda x=1 (e, por simetria, x=-1 dá o mesmo tipo de função em y):
Define
Define
A derivada é
Avalia em
e nos extremos
:
-
-
-
Então, em x=±1 temos candidatos 4,75; 17; 25.
Passo 4
Agora borda y=4 e y=-4, variando x em [-1,1]:
- y=4:
É uma parábola com mínimo em x=0:
- y=-4:
Parábola invertida, máximo em x=0 e mínimos em x=±1:
Passo 5
Reunindo tudo:
- Interior: em (0,0) vale
. - Borda x=±1: vale
. - Borda y=4: vale
. - Borda y=-4: vale
.
O menor de todos é
em (0,0).
O maior de todos é , que ocorre em
.
O maior de todos é
Resposta
Mínimo absoluto:
.
Máximo absoluto: .
Máximo absoluto: