3 Questão 3 ( 7 pts )

Determine a representação por equação diferencial para o sistema LIT com a seguinte reposta ao impulso:
h(t)=2 e^-2 t u(t)-2 t e^-2 t u(t)
O que é possível afirmar sobre o sistema em relação às propriedades de causalidade, memória e BIBO estabilidade?

Passo 1

O enunciado dá a resposta ao impulso
h(t)=2e^-2tu(t)-2te^-2tu(t)
e pede (a) a representação por equação diferencial do sistema LIT (supondo condições nulas iniciais) e (b) classificar o sistema quanto a causalidade, memória e estabilidade BIBO. Para isso vamos usar a transformada de Laplace e a relação entre função de transferência e equação diferencial.

Passo 2

Calculamos a transformada de Laplace de h(t). Sabendo que
Le^-2tu(t) = 1s+2, Lt,e^-2tu(t) = 1(s+2)^2,
temos
H(s) = 2cdot1s+2 -2cdot1(s+2)^2 = 2(s+2)-2(s+2)^2 = 2s+2(s+2)^2 = 2(s+1)(s+2)^2

Passo 3

Da definição de função de transferência,
H(s)=Y(s)X(s) = 2(s+1)(s+2)^2 Longrightarrow (s+2)^2,Y(s)=2(s+1),X(s)
Expandindo (s+2)^2 = s^2+4s+4 e voltando ao domínio do tempo (com condições nulas):
s^2Y(s)to Ly''(t), sY(s)to Ly'(t),
obtemos
y''(t) +4,y'(t) +4,y(t) = 2,x'(t) +2,x(t)

Passo 4

Causalidade: como h(t)=0 para t<0, o sistema não reage antes da entrada ser aplicada. Logo, é causal.

Passo 5

Memória: o sistema não é instantâneo (implica em derivadas e integrais de entradas passadas), ou seja, sua resposta ao impulso não é um múltiplo de de<a(t). Portanto, o sistema tem memória.

Passo 6

Estabilidade BIBO: os polos de
H(s)=2(s+1)(s+2)^2
estão em s=-2 (duplo), todos no semiplano esquerdo, e h(t) é absolutamente integrável em [0,infty). Logo, o sistema é BIBO estável.

Resposta

Equação diferencial:
y''(t) +4,y'(t) +4,y(t) = 2,x'(t) +2,x(t)
O sistema é causal, possui memória e é BIBO estável.

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