3 Questão 3 ( 7 pts )
Determine a representação por equação diferencial para o sistema LIT com a seguinte reposta ao impulso:
O que é possível afirmar sobre o sistema em relação às propriedades de causalidade, memória e BIBO estabilidade?
Passo 1
O enunciado dá a resposta ao impulso
e pede (a) a representação por equação diferencial do sistema LIT (supondo condições nulas iniciais) e (b) classificar o sistema quanto a causalidade, memória e estabilidade BIBO. Para isso vamos usar a transformada de Laplace e a relação entre função de transferência e equação diferencial.
Passo 2
Calculamos a transformada de Laplace de
. Sabendo que
temos
Passo 3
Da definição de função de transferência,
Expandindo
e voltando ao domínio do tempo (com condições nulas):
obtemos
Passo 4
Causalidade: como
para
, o sistema não reage antes da entrada ser aplicada. Logo, é causal.
Passo 5
Memória: o sistema não é instantâneo (implica em derivadas e integrais de entradas passadas), ou seja, sua resposta ao impulso não é um múltiplo de
. Portanto, o sistema tem memória.
Passo 6
Estabilidade BIBO: os polos de
estão em
(duplo), todos no semiplano esquerdo, e
é absolutamente integrável em
. Logo, o sistema é BIBO estável.
Resposta
Equação diferencial:
O sistema é causal, possui memória e é BIBO estável.