A equação
partial^2 upartial t^2=c^2 partial^2 upartial x^2
onde cé uma constante positiva, é chamada de equação de onda. Sejam f e g funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.
(a) Mostre que u(x, t)=f(x+c t) e v(x, t)=g(x-c t) satifazem a equação de onda;
(b) Mostre que a função phi(x, t)=f(x+c t)+g(x-c t) satifaz a equação de onda;
(c) Confirme que phi(x, t)=sen(x) cos (t) satifaz a equação de onda com c=1, e então use identidades trigonométiricas apropriadas para expressar essa função na forma f(x+c t)+g(x-c t).

Passo 1

O enunciado trata da equação de onda unidimensional
partial^2upartial t^2 = c^2,partial^2upartial x^2,
onde c>0. Precisamos mostrar que as “ondas planas”
,u(x,t)=f(x+ct), ,v(x,t)=g(x-ct)
satisfazem essa equação, que a soma delas também satisfaz, e depois, para c=1, expressar
phi(x,t)=sin(x)cos(t)
na forma f(x+t)+g(x-t).

Passo 2

Considere u(x,t)=f(x+ct). Defina
z = x + ct,
então
ux = f'(z),partial zpartial x = f'(z), uxx = f''(z),
ut = f'(z),partial zpartial t = c,f'(z), utt = c,partialpartial tl(f'(z)r) = cl(f''(z),cr) = c^2f''(z)
Logo
utt = c^2f''(z) = c^2uxx,
portanto u satisfaz a equação de onda.

Passo 3

Analogamente, para v(x,t)=g(x-ct) defina
w = x - ct
Calculamos
vx = g'(w), vxx = g''(w),
vt = g'(w),(-c), vtt = -c,partialpartial tl(g'(w)r) = -cl(g''(w),(-c)r) = c^2g''(w)
Logo
vtt = c^2g''(w) = c^2vxx,
então v também satisfaz a equação de onda.

Passo 4

A equação de onda é linear e homogênea. Logo, se u e v são soluções, então
phi(x,t)=u(x,t)+v(x,t)
também satisfaz
phitt = utt + vtt = c^2(uxx+vxx) = c^2phixx

Passo 5

Para c=1 e
phi(x,t)=sin(x)cos(t), calculemos
phix = cos(x)cos(t), phixx = -sin(x)cos(t),
phit = -sin(x)sin(t), phitt = -sin(x)cos(t)
Vemos que
phitt = -sin(x)cos(t) = phixx,
de modo que
phitt = 1^2,phixx,
confirmando que phi satisfaz a equação de onda com c=1.

Passo 6

Usamos a identidade trigonométrica
sin(x)cos(t) = tfrac12l[sin(x+t)+sin(x-t)r]
Assim podemos escrever
phi(x,t)=sin(x)cos(t) =tfrac12,sinl(x+tr)+tfrac12,sinl(x-tr),
isto é, na forma f(x+t)+g(x-t) com
f(s) = tfrac12sin(s), g(s) = tfrac12sin(s)

Resposta

Para c=1 e phi(x,t)=sin(x)cos(t) obtemos
phi(x,t) = f(x+t) + g(x-t),
onde
f(s) = tfrac12sin(s), g(s) = tfrac12sin(s)

Exercícios relacionados