A equação
onde cé uma constante positiva, é chamada de equação de onda. Sejam
e
funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.
(a) Mostre que
e
satifazem a equação de onda;
(b) Mostre que a função
satifaz a equação de onda;
(c) Confirme que
satifaz a equação de onda com
, e então use identidades trigonométiricas apropriadas para expressar essa função na forma
.
(a) Mostre que
(b) Mostre que a função
(c) Confirme que
Passo 1
O enunciado trata da equação de onda unidimensional
onde
. Precisamos mostrar que as “ondas planas”
,
satisfazem essa equação, que a soma delas também satisfaz, e depois, para , expressar
na forma .
satisfazem essa equação, que a soma delas também satisfaz, e depois, para
na forma
Passo 2
Considere
. Defina
então
Logo
portanto
satisfaz a equação de onda.
Passo 3
Analogamente, para
defina
Calculamos
Logo
então
também satisfaz a equação de onda.
Passo 4
A equação de onda é linear e homogênea. Logo, se
e
são soluções, então
também satisfaz
também satisfaz
Passo 5
Para
e
, calculemos
Vemos que
,
de modo que
de modo que
confirmando que
satisfaz a equação de onda com
.
Passo 6
Usamos a identidade trigonométrica
Assim podemos escrever
isto é, na forma
com
Resposta
Para
e
obtemos
onde