Usando o Teorema de Green para encontrar a área da região encerrada pela elipse dada pela equação:
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ointC(x^4-3 y) d x+(2 y^3+4 x) d yonde C é a elipse dada por x^29+y^24=1.

Passo 1

Estamos calculando a integral de linha ointC (x^4 - 3y),dx + (2y^3 + 4x),dy sobre a elipse x^29+y^24=1. O conteúdo aqui é o Teorema de Green, que converte integrais de linha em integrais duplas.

Passo 2

Identificamos as funções:
P(x,y)=x^4-3y,
Q(x,y)=2y^3+4x
Pelo Teorema de Green vale
ointC P,dx+Q,dy=integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
onde D é a região interna à elipse.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x=4, partial Ppartial y=-3,
então o integrando fica
partial Qpartial x-partial Ppartial y=4-(-3)=7

Passo 4

Assim a integral de linha vira
integral duplaD 7,dA = 7integral duplaD dA = 7cdotÁrea(D) Á
Para a elipse com semi-eixos a=3 e b=2 a área é
Área(D)=pi a b=picdot3cdot2=6pi Á
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7times6pi=42pi

Resposta

42pi

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