Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
.
,
é a região triangular fechada com vértices
e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função $ f(x, y) = x + y - xy $ no conjunto $ D $, que é um triângulo fechado com vértices em $ (2,0) $, $ (0,2) $ e $ (0,-2) $. O que vamos precisar aqui é entender como otimizar uma função de duas variáveis dentro de uma região específica. Basicamente, vamos procurar onde a função atinge seus valores mais altos e mais baixos dentro desse triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos dentro da região $ D $. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais da função $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualá-las a zero.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Agora, vamos igualar ambas as derivadas a zero:
Portanto, temos um ponto crítico em $ (1, 1) $. Vamos verificar se esse ponto está dentro do triângulo $ D $.
Passo 3
Para verificar se o ponto $ (1, 1) $ está dentro de $ D $, vamos analisar as coordenadas. Como $ x = 1 $ e $ y = 1 $, e o triângulo tem vértices em $ (2,0) $, $ (0,2) $ e $ (0,-2) $, podemos ver que $ (1,1) $ está dentro da área delimitada.
Agora que encontramos o único ponto crítico dentro de $ D $, vamos calcular o valor de $ f $ nele:
Passo 4
Mas não para por aí! Também precisamos verificar os valores de $ f $ ao longo das bordas do triângulo. As bordas são as linhas que conectam os vértices $ (2,0) $, $ (0,2) $ e $ (0,-2) $. Vamos analisar cada uma:
-
Borda entre (2,0) e (0,2):
Aqui, podemos expressar $ y $ em função de $ x $: $ y = -x + 2 $.
Substituindo na função:Essa é uma função quadrática que atinge o máximo no vértice. Calculando:Então, $ y = 1 $, e já sabemos que $ f(1,1) = 1 $. -
Borda entre (0,2) e (0,-2):
Aqui, $ x = 0 $. Então, a função fica:O valor máximo nessa borda é $ y = 2 $ e o mínimo é $ y = -2 $. -
Borda entre (0,-2) e (2,0):
Aqui, podemos expressar $ y $ em função de $ x $: $ y = x - 2 $.
Substituindo na função:Outra função quadrática. O vértice ocorre em:Então, $ y = 0 $, e $ f(2,0) = 2 + 0 - 0 = 2 $.
Resposta
Depois de avaliar todos os pontos críticos e as bordas do triângulo, concluímos que:
- Valor máximo absoluto de $ f $: $ 2 $ no ponto $ (2,0) $ e $ (0,2) $.
- Valor mínimo absoluto de $ f $: $ -2 $ no ponto $ (0,-2) $.