Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
f(x, y)=sen(x) sen(y), com-pi <= x <= pi e -pi <= y <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função $ f(x, y) = \sin(x) \sin(y) $ no domínio $ -\pi \leq x \leq \pi $ e $ -\pi \leq y \leq \pi $. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e análise de extremos em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular $ f_x $ e $ f_y $ e igualar a zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
f
E em relação a $ y $:
x
Agora, vamos igualar ambas as derivadas a zero:
fx = partial fpartial x = cos(x) sin(y)

Passo 4

Vamos resolver essas equações para encontrar os valores de $ x $ e $ y $:
  1. Primeira equação ($ \cos(x) \sin(y) = 0 $):
    • $ \cos(x) = 0 $ ou $ \sin(y) = 0 $
  2. Segunda equação ($ \sin(x) \cos(y) = 0 $):
    • $ \sin(x) = 0 $ ou $ \cos(y) = 0 $
Isso nos dá quatro casos possíveis para os pontos críticos:
  • Caso 1: $ \sin(x) = 0 $ e $ \sin(y) = 0 $
  • Caso 2: $ \cos(x) = 0 $ e $ \cos(y) = 0 $
  • Caso 3: $ \sin(x) = 0 $ e $ \cos(y) = 0 $
  • Caso 4: $ \cos(x) = 0 $ e $ \sin(y) = 0 $

Passo 5

Vamos resolver cada caso dentro do intervalo dado $ -\pi \leq x \leq \pi $ e $ -\pi \leq y \leq \pi $:
  • Caso 1: $ \sin(x) = 0 $ implica $ x = 0, \pi, -\pi $ e $ \sin(y) = 0 $ implica $ y = 0, \pi, -\pi $
    Pontos críticos: -pi <= x <= pi , -pi <= y <= pi , sin(x) = 0 , x = 0, pi, -pi , sin(y) = 0 , y = 0, pi, -pi , (0,0), (0,pi), (0,-pi)
  • Caso 2: $ \cos(x) = 0 $ implica $ x = \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} $ e $ \cos(y) = 0 $ implica $ y = \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} $
    Pontos críticos: (pi,0), (pi,pi), (pi,-pi), (- pi,0)
  • Caso 3: $ \sin(x) = 0 $ implica $ x = 0, \pi, -\pi $ e $ \cos(y) = 0 $ implica $ y = \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} $
    Pontos críticos: (- pi,pi), (- pi,-pi), cos(x) = 0 , x = pi2, -pi2 , cos(y) = 0 , y = pi2, -pi2
  • Caso 4: $ \cos(x) = 0 $ implica $ x = \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} $ e $ \sin(y) = 0 $ implica $ y = 0, \pi, -\pi $
    Pontos críticos: (pi2,pi2), (pi2, -pi2), (- pi2,pi2), (- pi2, -pi2), sin(x) = 0 , x = 0, pi, -pi

Passo 6

Agora que identificamos todos os pontos críticos, vamos classificar cada um deles como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso, usamos a segunda derivada e calculamos o determinante Hessiano (D):
D = fxx fyy - (fxy)^2
Onde:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -sin(x) sin(y)
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -sin(x) sin(y)
fxy = partial^2 fpartial x partial y = cos(x) cos(y)

Passo 7

Vamos analisar cada tipo de ponto crítico:
  1. Para os pontos do Caso 1 e 3 e 4:
    • Quando $ \sin(x) = 0 $ ou $ \sin(y) = 0 $, $ f(x, y) = 0 $
    • Calculando $ D $, veremos que ele será negativo, indicando pontos de sela
  2. Para os pontos do Caso 2:
    • Quando $ \cos(x) = 0 $ e $ \cos(y) = 0 $, $ f(x, y) = \sin(\frac{\pi}{2}) \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $ ou $ f(x, y) = -1 $ dependendo dos sinais
    • Calculando $ D $, veremos que ele será positivo:
      • Se $ f_{xx} < 0 $, é um máximo local
      • Se $ f_{xx} > 0 $, é um mínimo local

Passo 8

Aplicando isso aos pontos:
  • Pontos onde $ f(x, y) = 1 $:
    • f(x, y) = 1 e (pi2,pi2) são máximos locais
  • Pontos onde $ f(x, y) = -1 $:
    • (- pi2, -pi2) e f(x, y) = -1 são mínimos locais
  • Demais pontos: São pontos de sela

Resposta

Valores Máximos Locais:
$ f\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) = 1 $
$ f\left(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}\right) = 1 $
Valores Mínimos Locais:
$ f\left(\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}\right) = -1 $
$ f\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) = -1 $
Pontos de Sela:
Todos os demais pontos críticos onde $ f(x, y) = 0 $

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