Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função $ f(x, y) = \sin(x) \sin(y) $ no domínio $ -\pi \leq x \leq \pi $ e $ -\pi \leq y \leq \pi $. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e análise de extremos em funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular $ f_x $ e $ f_y $ e igualar a zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
E em relação a $ y $:
Agora, vamos igualar ambas as derivadas a zero:
Passo 4
Vamos resolver essas equações para encontrar os valores de $ x $ e $ y $:
-
Primeira equação ($ \cos(x) \sin(y) = 0 $):
- $ \cos(x) = 0 $ ou $ \sin(y) = 0 $
-
Segunda equação ($ \sin(x) \cos(y) = 0 $):
- $ \sin(x) = 0 $ ou $ \cos(y) = 0 $
Isso nos dá quatro casos possíveis para os pontos críticos:
- Caso 1: $ \sin(x) = 0 $ e $ \sin(y) = 0 $
- Caso 2: $ \cos(x) = 0 $ e $ \cos(y) = 0 $
- Caso 3: $ \sin(x) = 0 $ e $ \cos(y) = 0 $
- Caso 4: $ \cos(x) = 0 $ e $ \sin(y) = 0 $
Passo 5
Vamos resolver cada caso dentro do intervalo dado $ -\pi \leq x \leq \pi $ e $ -\pi \leq y \leq \pi $:
-
Caso 1: $ \sin(x) = 0 $ implica $ x = 0, \pi, -\pi $ e $ \sin(y) = 0 $ implica $ y = 0, \pi, -\pi $Pontos críticos:
, , , , , , , , -
Caso 2: $ \cos(x) = 0 $ implica $ x = \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} $ e $ \cos(y) = 0 $ implica $ y = \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} $Pontos críticos:
, , , -
Caso 3: $ \sin(x) = 0 $ implica $ x = 0, \pi, -\pi $ e $ \cos(y) = 0 $ implica $ y = \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} $Pontos críticos:
, , , , , -
Caso 4: $ \cos(x) = 0 $ implica $ x = \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} $ e $ \sin(y) = 0 $ implica $ y = 0, \pi, -\pi $Pontos críticos:
, , , , ,
Passo 6
Agora que identificamos todos os pontos críticos, vamos classificar cada um deles como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso, usamos a segunda derivada e calculamos o determinante Hessiano (D):
Onde:
Passo 7
Vamos analisar cada tipo de ponto crítico:
-
Para os pontos do Caso 1 e 3 e 4:
- Quando $ \sin(x) = 0 $ ou $ \sin(y) = 0 $, $ f(x, y) = 0 $
- Calculando $ D $, veremos que ele será negativo, indicando pontos de sela
-
Para os pontos do Caso 2:
- Quando $ \cos(x) = 0 $ e $ \cos(y) = 0 $, $ f(x, y) = \sin(\frac{\pi}{2}) \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $ ou $ f(x, y) = -1 $ dependendo dos sinais
- Calculando $ D $, veremos que ele será positivo:
- Se $ f_{xx} < 0 $, é um máximo local
- Se $ f_{xx} > 0 $, é um mínimo local
Passo 8
Aplicando isso aos pontos:
-
Pontos onde $ f(x, y) = 1 $:
-
e são máximos locais
-
-
Pontos onde $ f(x, y) = -1 $:
-
e são mínimos locais
-
-
Demais pontos: São pontos de sela
Resposta
Valores Máximos Locais:
$ f\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) = 1 $
$ f\left(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}\right) = 1 $
$ f\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) = 1 $
$ f\left(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}\right) = 1 $
Valores Mínimos Locais:
$ f\left(\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}\right) = -1 $
$ f\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) = -1 $
$ f\left(\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}\right) = -1 $
$ f\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) = -1 $
Pontos de Sela:
Todos os demais pontos críticos onde $ f(x, y) = 0 $
Todos os demais pontos críticos onde $ f(x, y) = 0 $