Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função
no conjunto
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o conjunto compacto
.
O que é pedido: determinar os valores máximo e mínimo absolutos de em
(ou seja, o maior e o menor valor que
assume quando
varia em
), e identificar os pontos onde esses valores ocorrem.
Informações relevantes fornecidas:
O que é pedido: determinar os valores máximo e mínimo absolutos de
Informações relevantes fornecidas:
- A função explícita
. - O domínio de busca é o retângulo fechado e limitado
.
Passo 2
Plano de ataque (explicação do método que usaremos; isto é padrão para problemas desses): por ser
polinomial (logo contínua) e
fechado e limitado, o Teorema do Valor Extremo garante que existem máximo e mínimo absolutos em
. Para encontrá‑los, devemos examinar:
- Pontos críticos dentro do interior do retângulo (
): onde o gradiente é zero. - Extremos na fronteira do retângulo (quatro arestas): reduzir cada aresta a uma função de uma variável e procurar extremos (derivada zero) e avaliar nos extremos do segmento.
- Comparar todos os valores obtidos e escolher o maior e o menor.
Vou aplicar esse procedimento passo a passo e explicar cada conceito à medida que aparece.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (o gradiente). Lembre: a derivada parcial em relação a
trata
como constante e vice‑versa.
Derivadas:
Derivadas:
Para encontrar pontos críticos no interior, resolvemos o sistema
, isto é:
Passo 4
Resolver o sistema das derivadas nulas. Das equações:
-
dá duas possibilidades: ou . -
é equivalente a .
Analisar caso a caso:
- Se
, então a segunda equação dá . Isso produz o ponto . - Se
, então da segunda equação temos , isto é , portanto . No nosso domínio só aceitamos . Isso produz o ponto .
Concluímos que os candidatos críticos encontrados são
e
. Note que
está na fronteira (canto), enquanto
está no interior do retângulo (pois
e
).
Passo 5
Avaliar
nos pontos críticos encontrados:
Portanto os valores correspondentes são
em
e
em
.
Vou também verificar a natureza do ponto interior
(útil para intuir se é mínimo local, máximo local ou sela). O Hessiano é:
Em
temos
,
,
. O determinante do Hessiano é
logo é ponto de sela (nem mínimo nem máximo local). Isso confirma que o valor
é apenas um valor crítico interior mas não é extremo absoluto necessariamente. Seguimos analisando a fronteira.
Passo 6
Analisar a fronteira do retângulo (quatro arestas). Em cada aresta reduzimos para uma função de uma variável e examinamos extremos.
Aresta 1:
,
.
Isto é uma parábola em
com mínimo em
(no intervalo), valor
; e máximo em
(extremo do segmento), valor
.
Aresta 2:
,
.
Isto tem mínimo interior no vértice
com valor
, e no intervalo
o máximo ocorre em
com
.
Aresta 3:
,
.
Mínimo em
com
, máximo em
com
.
Aresta 4:
,
.
É uma parábola voltada para baixo; em
o máximo ocorre em
com
, e o mínimo em
com
.
Passo 7
Avaliar nos quatro vértices (já em parte obtidos acima), para listar tudo claramente:
Passo 8
Agora compilar todos os valores candidatos que encontramos:
- Pontos interiores críticos:
com . - Pontos na fronteira (incluindo vértices): valores obtidos variam entre
e . Observamos que o menor valor encontrado em todas as verificações foi e o maior foi .
Os pontos ondeocorreram (entre os candidatos) em e . Os pontos onde ocorreram em e .
Passo 9
Concluir: comparando todos os valores, o mínimo absoluto em
é
e o máximo absoluto em
é
. Especificamente:
- Valor mínimo absoluto
, atingido em e . - Valor máximo absoluto
, atingido em e .
Força aí — já fizemos todo o procedimento padrão: procuramos críticos no interior, estudamos a fronteira reduzida a funções de uma variável (derivadas e vértices) e comparamos os valores. Isso resolve o problema.
Resposta
Valor mínimo absoluto:
, atingido em
e
.
Valor máximo absoluto: , atingido em
e
.
Valor máximo absoluto: