Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função f(x, y)=x^{2}+y^{2}-x^{2} y+4 no conjunto D= \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 2\right. e \left.0 \leq y \leq 2\right\}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+y^{2}-x^{2}y+4 e o conjunto compacto D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0\le x\le 2,\;0\le y\le 2\}.
O que é pedido: determinar os valores máximo e mínimo absolutos de f em D (ou seja, o maior e o menor valor que f assume quando (x,y) varia em D), e identificar os pontos onde esses valores ocorrem.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função explícita f(x,y)=x^{2}+y^{2}-x^{2}y+4.
  • O domínio de busca é o retângulo fechado e limitado 0\le x\le 2,\;0\le y\le 2.

Passo 2

Plano de ataque (explicação do método que usaremos; isto é padrão para problemas desses): por ser f polinomial (logo contínua) e D fechado e limitado, o Teorema do Valor Extremo garante que existem máximo e mínimo absolutos em D. Para encontrá‑los, devemos examinar:
  1. Pontos críticos dentro do interior do retângulo ( 0<x<2,\;0<y<2): onde o gradiente é zero.
  2. Extremos na fronteira do retângulo (quatro arestas): reduzir cada aresta a uma função de uma variável e procurar extremos (derivada zero) e avaliar nos extremos do segmento.
  3. Comparar todos os valores obtidos e escolher o maior e o menor.
Vou aplicar esse procedimento passo a passo e explicar cada conceito à medida que aparece.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (o gradiente). Lembre: a derivada parcial em relação a x trata y como constante e vice‑versa.
Derivadas:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{2}-x^{2}y+4\bigr)=2x-2xy=2x(1-y),
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y^{2}-x^{2}y+4\bigr)=2y-x^{2}.
Para encontrar pontos críticos no interior, resolvemos o sistema \nabla f=(0,0), isto é:
2x(1-y)=0,\qquad 2y-x^{2}=0.

Passo 4

Resolver o sistema das derivadas nulas. Das equações:
  • 2x(1-y)=0 dá duas possibilidades: x=0 ou y=1.
  • 2y-x^{2}=0 é equivalente a y=\dfrac{x^{2}}{2}.
Analisar caso a caso:
  • Se x=0, então a segunda equação dá y=\dfrac{0^{2}}{2}=0. Isso produz o ponto (0,0).
  • Se y=1, então da segunda equação temos 1=\dfrac{x^{2}}{2}, isto é x^{2}=2, portanto x=\pm\sqrt{2}. No nosso domínio 0\le x\le2 só aceitamos x=\sqrt{2}. Isso produz o ponto \bigl(\sqrt{2},1\bigr).
Concluímos que os candidatos críticos encontrados são (0,0) e \bigl(\sqrt{2},1\bigr). Note que (0,0) está na fronteira (canto), enquanto \bigl(\sqrt{2},1\bigr) está no interior do retângulo (pois 0<\sqrt{2}<2 e 0<1<2).

Passo 5

Avaliar f nos pontos críticos encontrados:
f(0,0)=0+0-0+4=4.
f\bigl(\sqrt{2},1\bigr)=(\sqrt{2})^{2}+1^{2}-(\sqrt{2})^{2}\cdot 1+4 =2+1-2+4=5.
Portanto os valores correspondentes são 4 em (0,0) e 5 em \bigl(\sqrt{2},1\bigr).
Vou também verificar a natureza do ponto interior \bigl(\sqrt{2},1\bigr) (útil para intuir se é mínimo local, máximo local ou sela). O Hessiano é:
f_{xx}=2-2y,\qquad f_{yy}=2,\qquad f_{xy}=-2x.
Em \bigl(\sqrt{2},1\bigr) temos f_{xx}=0, f_{yy}=2, f_{xy}=-2\sqrt{2}. O determinante do Hessiano é
D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=0\cdot 2 -(-2\sqrt{2})^{2}=-8<0,
logo é ponto de sela (nem mínimo nem máximo local). Isso confirma que o valor 5 é apenas um valor crítico interior mas não é extremo absoluto necessariamente. Seguimos analisando a fronteira.

Passo 6

Analisar a fronteira do retângulo (quatro arestas). Em cada aresta reduzimos para uma função de uma variável e examinamos extremos.
Aresta 1: x=0, 0\le y\le 2.
f(0,y)=0+y^{2}-0+4=y^{2}+4.
Isto é uma parábola em y com mínimo em y=0 (no intervalo), valor f(0,0)=4; e máximo em y=2 (extremo do segmento), valor f(0,2)=2^{2}+4=8.
Aresta 2: x=2, 0\le y\le 2.
f(2,y)=4+y^{2}-4y+4=y^{2}-4y+8=(y-2)^{2}+4.
Isto tem mínimo interior no vértice y=2 com valor 4, e no intervalo [0,2] o máximo ocorre em y=0 com f(2,0)=8.
Aresta 3: y=0, 0\le x\le 2.
f(x,0)=x^{2}+0-0+4=x^{2}+4.
Mínimo em x=0 com f(0,0)=4, máximo em x=2 com f(2,0)=8.
Aresta 4: y=2, 0\le x\le 2.
f(x,2)=x^{2}+4-2x^{2}+4=-x^{2}+8.
É uma parábola voltada para baixo; em [0,2] o máximo ocorre em x=0 com f(0,2)=8, e o mínimo em x=2 com f(2,2)= -4+8=4.

Passo 7

Avaliar nos quatro vértices (já em parte obtidos acima), para listar tudo claramente:
f(0,0)=4,\qquad f(0,2)=8,\qquad f(2,0)=8,\qquad f(2,2)=4.

Passo 8

Agora compilar todos os valores candidatos que encontramos:
  • Pontos interiores críticos: \bigl(\sqrt{2},1\bigr) com f=5.
  • Pontos na fronteira (incluindo vértices): valores obtidos variam entre 4 e 8. Observamos que o menor valor encontrado em todas as verificações foi 4 e o maior foi 8.
    Os pontos onde f=4 ocorreram (entre os candidatos) em (0,0) e (2,2). Os pontos onde f=8 ocorreram em (0,2) e (2,0).

Passo 9

Concluir: comparando todos os valores, o mínimo absoluto em D é 4 e o máximo absoluto em D é 8. Especificamente:
  • Valor mínimo absoluto 4, atingido em (0,0) e (2,2).
  • Valor máximo absoluto 8, atingido em (0,2) e (2,0).
Força aí — já fizemos todo o procedimento padrão: procuramos críticos no interior, estudamos a fronteira reduzida a funções de uma variável (derivadas e vértices) e comparamos os valores. Isso resolve o problema.

Resposta

Valor mínimo absoluto: 4, atingido em (0,0) e (2,2).
Valor máximo absoluto: 8, atingido em (0,2) e (2,0).

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