Utilizando Derivadas Parciais, obtenha o ponto no plano \pi: x+y-z=0 que está mais próximo do ponto P=(-1,2,0) e forneça a distância mínima.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A equação do plano \pi é \;x+y-z=0\;.
  • O ponto P é \;P=(-1,2,0)\;.
O que se pede:
  • Determinar o ponto do plano \pi que está mais próximo de P.
  • Calcular a distância mínima entre P e o plano (ou seja, a distância entre P e esse ponto do plano).

Passo 2

Estratégia (explicação didática e por que funciona): para encontrar o ponto do plano mais próximo de P é conveniente minimizar a distância entre um ponto genérico (x,y,z) do plano e P. Para facilitar as contas, em vez de minimizar a distância \sqrt{\cdot} vamos minimizar o quadrado da distância—isso é equivalente porque a raiz quadrada é monótona crescente em [0,\infty). Assim definimos a função a minimizar e a restrição.
Definições:
  • Variáveis: x,y,z coordenadas de um ponto genérico do plano.
  • Função (quadrado da distância de (x,y,z) a P):
f(x,y,z) = (x+1)^2 + (y-2)^2 + (z-0)^2.
Aqui, por exemplo, x+1 é a diferença na coordenada x entre o ponto (x,y,z) e P=(-1,2,0).
  • Restrição (equação do plano):
g(x,y,z) = x+y-z = 0.

Passo 3

Método (aula rápida sobre multiplicadores de Lagrange): quando se quer minimizar f(x,y,z) sujeito a g(x,y,z)=0, os pontos candidatos satisfazem que o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g. Isso se expressa introduzindo um multiplicador \lambda e formando a função Lagrange
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda) = f(x,y,z) - \lambda\, g(x,y,z).
As condições necessárias para um extremo (estacionário) sujeito à restrição são as equações:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}=0,\qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=0.
Explicando em palavras: isso gera um sistema que garante que a direção de maior variação de f (o gradiente) esteja alinhada com a direção da restrição (o gradiente de g), condição natural para que não exista variação de f ao mover-se sobre a superfície definida pela restrição.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais e escrever o sistema. Primeiro os gradientes:
  • \nabla f = \bigl(2(x+1),\;2(y-2),\;2z\bigr).
  • \nabla g = (1,1,-1).
As equações de Lagrange \nabla f = \lambda \nabla g dão, componente a componente,
2(x+1) = \lambda,\qquad 2(y-2) = \lambda,\qquad 2z = -\lambda.
A última equação vem de 2z = \lambda\cdot(-1). A condição de restrição é
x+y-z=0.

Passo 5

Resolver o sistema passo a passo. Das três primeiras igualdades vemos que as três quantidades x+1, y-2 e -z são iguais (todas iguais a \tfrac{\lambda}{2}). Introduzimos uma variável auxiliar t para essa quantidade:
t = x+1 = y-2 = -z.
Assim
x = t-1,\qquad y = t+2,\qquad z = -t.
Agora impomos a restrição x+y-z=0. Substituindo:
(t-1) + (t+2) - (-t) = 0.
Somando os termos:
t-1 + t+2 + t = 0 \quad\Rightarrow\quad 3t + 1 = 0.
Logo
t = -\tfrac{1}{3}.
Retornando para x,y,z:
x = t-1 = -\tfrac{1}{3} - 1 = -\tfrac{4}{3},
y = t+2 = -\tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{5}{3},
z = -t = \tfrac{1}{3}.
Esses valores satisfazem a restrição (pode-se checar) e são o ponto candidato ao mínimo.

Passo 6

Calcular a distância mínima. Primeiro o quadrado da distância entre P=(-1,2,0) e o ponto encontrado Q=\bigl(-\tfrac{4}{3},\tfrac{5}{3},\tfrac{1}{3}\bigr):
\begin{aligned} \text{dist}^2(P,Q) &= \left(-\tfrac{4}{3} + 1\right)^2 + \left(\tfrac{5}{3}-2\right)^2 + \left(\tfrac{1}{3}-0\right)^2 \\\ &= \left(-\tfrac{1}{3}\right)^2 + \left(-\tfrac{1}{3}\right)^2 + \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 \\\ &= \tfrac{1}{9} + \tfrac{1}{9} + \tfrac{1}{9} = \tfrac{3}{9} = \tfrac{1}{3}. \end{aligned}
Portanto a distância mínima é
\sqrt{\tfrac{1}{3}} = \tfrac{1}{\sqrt{3}} = \tfrac{\sqrt{3}}{3}.

Resposta

\displaystyle \left(-\tfrac{4}{3},\tfrac{5}{3},\tfrac{1}{3}\right)
\displaystyle \tfrac{1}{\sqrt{3}}

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