Utilizando Derivadas Parciais, obtenha o ponto no plano
que está mais próximo do ponto
e forneça a distância mínima.
Passo 1
O enunciado dá:
- A equação do plano
é . - O ponto
é .
O que se pede:
- Determinar o ponto do plano
que está mais próximo de . - Calcular a distância mínima entre
e o plano (ou seja, a distância entre e esse ponto do plano).
Passo 2
Estratégia (explicação didática e por que funciona): para encontrar o ponto do plano mais próximo de
é conveniente minimizar a distância entre um ponto genérico
do plano e
. Para facilitar as contas, em vez de minimizar a distância
vamos minimizar o quadrado da distância—isso é equivalente porque a raiz quadrada é monótona crescente em
. Assim definimos a função a minimizar e a restrição.
Definições:
- Variáveis:
coordenadas de um ponto genérico do plano. - Função (quadrado da distância de
a ):
Aqui, por exemplo,
é a diferença na coordenada
entre o ponto
e
.
- Restrição (equação do plano):
Passo 3
Método (aula rápida sobre multiplicadores de Lagrange): quando se quer minimizar
sujeito a
, os pontos candidatos satisfazem que o gradiente de
é paralelo ao gradiente de
. Isso se expressa introduzindo um multiplicador
e formando a função Lagrange
As condições necessárias para um extremo (estacionário) sujeito à restrição são as equações:
Explicando em palavras: isso gera um sistema que garante que a direção de maior variação de
(o gradiente) esteja alinhada com a direção da restrição (o gradiente de
), condição natural para que não exista variação de
ao mover-se sobre a superfície definida pela restrição.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais e escrever o sistema. Primeiro os gradientes:
-
. -
.
As equações de Lagrange
dão, componente a componente,
A última equação vem de
. A condição de restrição é
Passo 5
Resolver o sistema passo a passo. Das três primeiras igualdades vemos que as três quantidades
,
e
são iguais (todas iguais a
). Introduzimos uma variável auxiliar
para essa quantidade:
Assim
Agora impomos a restrição
. Substituindo:
Somando os termos:
Logo
Retornando para
:
Esses valores satisfazem a restrição (pode-se checar) e são o ponto candidato ao mínimo.
Passo 6
Calcular a distância mínima. Primeiro o quadrado da distância entre
e o ponto encontrado
:
Portanto a distância mínima é