Verifique se cada um dos limites existe:
lim (x, y) (0,0) x-yx^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe o limite
lim(x,y)to(0,0)x - yx^2 - y^2
O conteúdo envolve limites em várias variáveis e vamos usar fatoração algébrica junto com análise de caminhos para decidir se o limite é um número finito.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y),
portanto, sempre que xneq y,
x - yx^2 - y^2 = x - y(x - y)(x + y) = 1x + y

Passo 3

Escolhemos a trajetória y=0. Então
x - yx^2 - y^2|y=0 = 1x
Quando xto0^+, isso tende a +infty; quando xto0^-, tende a -infty. Logo a função é não-acotada ao se aproximar da origem por y=0.

Passo 4

Como mesmo numa única trajetória o valor não converge a um número finito (fica indeterminado entre +infty e -infty), não há como existir um limite finito comum para todas as direções de aproximação.

Resposta

O limite não existe.

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