Nos exercícios de 41-44, encontre a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado:
42. y=x^2-z^2, (4,7,3)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície definida por
y = x^2 - z^2
no ponto (4,7,3).
Isso envolve o conceito de plano tangente a gráfico de função de duas variáveis y = g(x,z), usando derivadas parciais.

Passo 2

Escrevendo g(x,z)=x^2-z^2, calculamos as derivadas parciais:
gx(x,z)=partialpartial x(x^2-z^2)=2x,
gz(x,z)=partialpartial z(x^2-z^2)=-2z

Passo 3

Avaliamo-as no ponto (x0,z0)=(4,3):
gx(4,3)=2cdot 4 = 8,
gz(4,3)=-2cdot 3 = -6

Passo 4

A fórmula do plano tangente ao gráfico y=g(x,z) em (x0,y0,z0) é
y - y0 = gx(x0,z0),(x - x0) + gz(x0,z0),(z - z0)
Substituindo x0=4, y0=7, z0=3, gx(4,3)=8 e gz(4,3)=-6, vem
y - 7 = 8,(x - 4) - 6,(z - 3)

Passo 5

Expandindo e simplificando:
y - 7 = 8x -32 -6z +18 = 8x -6z -14,
y = 8x -6z -14 +7 = 8x -6z -7
Em forma implícita padrão:
8x ;-; y ;-;6z ;-;7 = 0

Resposta

y = 8x - 6z - 7
ou equivalentemente
8x - y - 6z - 7 = 0

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